Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

2 Wahrscheinlichkeitsräume
Ziel ist jetzt die Motivation der Axiomatik von Kolmogorov. Es stellen sich
folgende Fragen:
1. Welchen Ereignissen sollen Wahrscheinlichkeiten zugerechnet werden?
2. Was für Eigenschaften sollte diese Zuordnung haben?
Bestandteile eines Zufallsexperimentes sind der Ergebnisraum Ω, die Menge
aller möglichen Ereignisse A ⊆ P(Ω) und eine Zuordnungsfunktion P , die
Ereignissen Wahrscheinlichkeiten aus [0, 1] zuordnet. Naheliegende Forderungen
ist:
• Ω ist ein Ereignis.
• Ist A ein Ereignis, so ist auch Ω \ A = A c ein Ereignis, das Komplementärereignis.
• Mit Ereignissen A, B ist auch A ∪ B ein Ereignis.
Definition: Ein System A von Teilmengen von Ω heißt Mengenalgebra,
falls:
1. Ω ∈ A
2. A ∈ A ⇒ A c ∈ A
3. A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A
Aus der dritten Eigenschaft folgt, daß A abgeschlossen ist gegenüber endlichen
Vereinigungsbildungen. Für |Ω| < ∞ ist die Begriffsbildung ausreichend.
Startend mit den Elementarereignissen E = {{w} | w ∈ Ω} erhält man die
gesamte Potenzmenge als Menge von Ereignissen. Ist A eine Mengenalgebra
mit E ⊂ A, so folgt: A = P(Ω).
Für |Ω| = +∞ ist der Begriff der Mengenalgebra jedoch nicht ausreichend. Für
Ω = N beispielsweise ist ausgehend von E die Mengenalgebra A beschränkt
als:
A = {A ⊂ N | (|A| < ∞) ∨ (|A c | < ∞)}
Damit sind aber etwa die geraden, die ungeraden oder die Primzahlen keine
Ereignisse.
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