Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole KÃ¼rtz

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12.1.2 Methodik zum Beweis des zentralen Grenzwertsatzes Nach Stetigkeitssatz wissen wir: Es genügt zu zeigen: ϕ S ∗ n −→ ϕ N(0,1) . Dabei ist ∫ ϕ N(0,1) (t) = e itx 1 √ e − x2 2 dx = e − t2 2 2π Damit ist zu zeigen: ( ( )) n t ˆϕ √ −→ e − t2 2 n für alle t wobei ˆϕ(t) = E(e itY 1 ) mit EY 1 = 0 und Var Y 1 = 1. „Kanonisches“ Vorgehen: Entwicklung um 0: 19 ( ( )) n ( t ϕ √ = 1 + ϕ ′ (0) t ( )) √ + ϕ′′ (0) t 2 n t n n 2 n + r √ n ( Erinnerung: Es ist lim n→∞ 1 + a + ) n bn n n = e a für b n −→ 0. Es verbleibt, eine geeignete Entwicklung von ϕ zu finden: ( ) d ( E e itX 1 ) (⋆) d = E dt dt eitX 1 = E ( iX 1 · e ) itX 1 Mit dem Satz von der dominierenden Konvergenz ist auch die Vertauschung von E und d in (⋆) möglich. Damit ist dt ϕ′ (0) = E(iX 1 ) = 0. Entsprechend ist d ( E (iX1 e itX 1 ) ) ( (⋆) = E iX 1 · d ) dt dt eitX 1 = E ( i 2 X1 2 · e ) itX 1 = −E(X 2 e itX ) für t = 0 = −E(X 2 ) = −1 ( ) t Das Restglied ergibt sich als r √ n = h(t,n) mit lim n→∞ h(t, n) = 0. Es liegt damit — bei E(X 1 ) = 0 und Var(X 1 ) = 1 — folgende Entwicklung vor: ( ( )) n ) n t ϕ √ = (1 − t2 h(t, n) + −→ e − t2 2 n 2n n Dies ergibt den Beweis des zentralen Grenzwertsatzes im hier betrachteten Fall. 19 f(h) = f(0) + f ′ (0) · h + f ′′ (0) h2 2 + r(h) 95 n
Achtung! Hier fehlt noch das Ende der Vorlesung! 96
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5.6 Geometrische Verteilung . . . .
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12.1.2 Methodik zum Beweis des zent
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Wir geben einen festen Top (b 1 , .
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• Der Winkel ϕ ∈ [− π, π )
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2 Wahrscheinlichkeitsräume Ziel is
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möglichen Ergebnisse Ω, einem Sys
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Satz: Ω sei eine Menge, E ⊂ P(Ω
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3 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
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Für N = 5 ist P (B 0 ) = 36.7%, be
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1. Da (A i ) i∈N wachsend ist, gi
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¨ ¨ ¨ ¨ ¢ 4 Bedingte Wahrschei
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4.1.1 Aussagekraft von medizinische
Seite 27 und 28:
Beweis: Es gilt: (( ) c ) P lim sup
Seite 29 und 30:
Das Borel-Cantelli-Lemma liefert 7
Seite 31 und 32:
5.2 Hypergeometrische Verteilung Qu
Seite 33 und 34:
5.7 Poisson-Verteilung −β βω F
Seite 35 und 36:
6 Wahrscheinlichkeitsmaße auf R Be
Seite 37 und 38:
6.1.2 Dynkin-Systeme Die Dynkin-Sys
Seite 39 und 40:
6.1.3 Beweis der Eindeutigkeit (kor
Seite 41 und 42:
Falls diese Fragen mit ja! beantwor
Seite 43 und 44:
Die Normalverteilung (Gaußverteilu
Seite 45 und 46:
Die Cantormenge hat die Eigenschaft
Seite 47 und 48:
X -1 (B) X B (Ω, , P) (¡ , ¢ , P
Seite 49 und 50: Ω A 1 A n A 2 A 3 X { α 1 , α 2
Seite 51 und 52: 7.4.2 Praktische Erwägungen zur Ve
Seite 53 und 54: Als mittleren Wert betrachtet man d
Seite 55 und 56: 8.2 Erwartungswert Definition: Sei
Seite 57 und 58: (b) Für a, b ∈ R gilt E(aX + bY
Seite 59 und 60: Es gilt für jedes i = 1, . . . , n
Seite 61 und 62: (c) Es ist X + Y = X + − X − +
Seite 63 und 64: folgt: ∑ ∫ n A n X dµ = lim k
Seite 65 und 66: 8.3.4 Integration bzgl. durch Dicht
Seite 67 und 68: 8.4 Varianz Der Erwatungswert ist a
Seite 69 und 70: 9 Momente und stochastische Ungleic
Seite 71 und 72: 9.2.2 Jensensche Ungleichung Satz:
Seite 73 und 74: die Verteilung von X = X 1 + X 2 ?
Seite 75 und 76: Es ist P ((X 1 , X 2 ) ∈ A) = E(1
Seite 77 und 78: 10.2.2 Summe zweier unabhängiger Z
Seite 79 und 80: 10.2.4 Die Varianz der Summen von Z
Seite 81 und 82: Sei nun X i = 1 {1} (Y i ) (d.h. nu
Seite 83 und 84: Und für relative Häufigkeiten bei
Seite 85 und 86: Dies ist wieder eine Umformulierung
Seite 87 und 88: Beweis: Beachte zunächst mit der J
Seite 89 und 90: Nun gilt mit dem Grenzwertsatz von
Seite 91 und 92: Einschub: Konvergenzkriterium für
Seite 93 und 94: Setze weiter S n = ∑ n i=1 Y i. D
Seite 95 und 96: Definition: Seien Z, Z 1 , Z 2 , .
Seite 97 und 98: Es gilt 1 {U∈Z c } · g(Fn −1 (
Seite 99: 4. Zusammenfügen der ersten drei S
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