Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

12.1.2 Methodik zum Beweis des zentralen Grenzwertsatzes
Nach Stetigkeitssatz wissen wir: Es genügt zu zeigen: ϕ S ∗ n
−→ ϕ N(0,1) . Dabei
ist
∫
ϕ N(0,1) (t) = e itx 1
√ e − x2
2 dx = e
− t2 2
2π
Damit ist zu zeigen:
( ( )) n t
ˆϕ √ −→ e − t2 2
n
für alle t
wobei ˆϕ(t) = E(e itY 1
) mit EY 1 = 0 und Var Y 1 = 1. „Kanonisches“ Vorgehen:
Entwicklung um 0: 19
( ( )) n ( t
ϕ √ = 1 + ϕ ′ (0) t
( ))
√ + ϕ′′ (0) t 2 n t
n n 2 n + r √ n
(
Erinnerung: Es ist lim n→∞ 1 +
a
+ ) n bn
n n = e a für b n −→ 0. Es verbleibt, eine
geeignete Entwicklung von ϕ zu finden:
( )
d (
E e
itX 1
) (⋆) d
= E
dt
dt eitX 1
= E ( iX 1 · e ) itX 1
Mit dem Satz von der dominierenden Konvergenz ist auch die Vertauschung
von E und d in (⋆) möglich. Damit ist dt ϕ′ (0) = E(iX 1 ) = 0. Entsprechend
ist
d (
E (iX1 e itX 1
) ) (
(⋆)
= E iX 1 · d )
dt
dt eitX 1
= E ( i 2 X1 2 · e ) itX 1
= −E(X 2 e itX )
für t = 0 = −E(X 2 ) = −1
( )
t
Das Restglied ergibt sich als r √ n
= h(t,n) mit lim n→∞ h(t, n) = 0. Es liegt
damit — bei E(X 1 ) = 0 und Var(X 1 ) = 1 — folgende Entwicklung vor:
( ( )) n ) n t
ϕ √ =
(1 − t2 h(t, n)
+ −→ e − t2 2
n 2n n
Dies ergibt den Beweis des zentralen Grenzwertsatzes im hier betrachteten
Fall.
19 f(h) = f(0) + f ′ (0) · h + f ′′ (0) h2
2 + r(h) 95
n