Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

einer Kombination vom Umfang k.
Verallgemeinerung ist der Multinomialkoeffizient: Gegeben sei eine n-
elementige Menge B und Mächtigkeiten k 1 , . . . , k m ≥ 1 mit ∑ m
i=1 k i = n.
Ein Tupel A = (A 1 , . . . , A m ) ist eine Partition zu den vorgegebenen
Mächtigkeiten k 1 , . . . , k m , wann gilt
1. A 1 , . . . , A m ist eine disjunkte Zerlegung, d.h. B = ⋃ m
i=1 A i und
A i ∩ A j = ∅ für i ≠ j.
2. |A i | = k i für 1 ≤ i ≤ m
Die Anzahl solcher Partitionen beträgt
( )
n!
k 1 ! · k 2 ! · . . . · k m ! =: n
k 1 , . . . , k m
Argumentation: ( )
n
k 1
Möglichkeiten für A1 , ( n−k 1
)
k 2
Möglichkeiten für A2 ,
. . . , ( n−(k 1 +...+k m−2
)
)
k m−1
Möglichkeiten für Am−1 , damit auch A m festgelegt.
Die Gesamtzahl ist dann
n! (n − k 1 )!
k 1 !(n − k 1 )!·
k 2 !(n − (k 1 + k ))!·. . .·(n − (k 1 + . . . + k m−2 ))
=
2 k m−1 ! · k m !
n!
k 1 ! · . . . · k m !
Man beachte, daß es bei den Partitionen auf die Reihenfolge ankommt,
d.h. ({1}, {2}) ≠ ({2}, {1})
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