Zentrische Streckung und Ähnlichkeit - Kantonsschule Solothurn

Kantonsschule Solothurn
Fachmaturität
RYS WS 09/10
Die Zentrische Streckung / Ähnlichkeit
Definition
Eine Abbildung heisst zentrische Streckung mit Streckungszentrum Z und Streckungsfaktor k , wenn für
jeden Punkt P der Figur gilt:
• Zentrum Z, Urbild P und Bild P‘ liegen auf einem Strahl mit Anfang Z, das heisst P‘ liegt auf der
Geraden durch ZP.
• Das Bild P‘ ist k mal so weit vom Zentrum Z entfernt wie das Urbild, das heisst = k⋅
•
Länge der Bildstrecke
Streckungsfaktor k =
.
Länge der Urbildstrecke
• Ist der Streckungsfaktor k positiv, so liegen die Punkte P und P’ auf der selben Seite vom
Zentrum Z. Ist k negativ, liegen P und P’ auf verschiedenen Seiten von Z.
• Man bezeichnet die zentrische Streckung symbolisch mit S(Z, k) oder Z Z;k .
Eigenschaften der zentrischen Streckung:
Geradentreu: Aus einer Geraden wird bei der zentrischen Streckung eine Bild-Gerade.
Verhältnistreu: Die Urbildstrecken stehen im selben Verhältnis zueinander wie die
Bildstrecken.
Parallelentreu: Sind die Urbild-Linien zueinander parallel so sind auch die Bild-Linien
parallel zueinander.
Winkeltreu:
Urbild-Winkel und Bild-Winkel sind bei der Z Z;k immer gleich gross.
Orientierungstreu: Der Drehsinn bleibt bei der zentrischen Streckung erhalten.
Fixpunkte:
Bei einer zentrischen Streckung mit k ≠ 1 ist Z der einzige Fixpunkt.
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Einstiegsübungen
1. Zeichne das Dreieck ABC mit A(3|2), B(8|3), C(5|6). Konstruiere das Bilddreieck der
zentrischen Streckung mit Z (6|4) und k = 1.6.
2. Die Punkte P(7|7) und Q(7|4.5) haben bei einer zentrischen Streckung die Bildpunkte
P‘(4|4) und Q‘(4|3).
a. Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und bestimme das Streckungszentrum.
b. Bestimme rechnerisch den Streckungsfaktor k.
c. Ist A‘(3|2) der Bildpunkt von A(5|2) bei dieser Streckung? Begründe.
3. Gibt es eine zentrische Streckung mit Streckungszentrum Z und Streckungsfaktor k, die A
auf A‘ und zugleich B auf B‘ abbildet? Wenn ja, bestimme zeichnerisch die Koordinaten von
Z und berechne k; wenn nein, begründe deine Antwort.
a. A(3|3), A‘(5|5), B(- 2|0), B‘(- 4|2) b. A(1| - 3), A‘(4|1), B(7|2), B‘(7|5)
4. Stimmt das? Begründe die Aussage oder widerlege sie:
a. Eine Punktspiegelung ist auch eine zentrische Streckung.
b. Bei gewissen zentrischen Streckungen ändert sich der Orientierungssinn vom Original
zum Bild eines Dreiecks.
c. Verknüpft man die zentrische Streckung mit dem Zentrum Z und dem Faktor k = 3/8 mit
der zentrischen Streckung mit dem gleichen Zentrum Z und k = 8/3 (Kehrwert), dann sind
bei dieser Abbildung alle Punkte der Ebene Fixpunkte.
d. Auch Kongruenzabbildungen sind winkeltreu.
e. Bei zentrischen Streckungen gibt es weder Fixgeraden noch Fixpunkte.
5. Ein Dreieck mit a = 14cm, α = 60° und h a =5cm wird auf ein Dreieck mit dem Flächeninhalt
210 cm 2 abgebildet. Wie gross sind a‘,α‘ und h a ‘ in diesem Dreieck?
Vertiefungsübungen
6. Strecke ein Quadrat so, dass sein Flächeninhalt verdoppelt wird. Tipp: Wähle eine
Quadratecke als Streckungszentrum.
7. BC und B ' C'
sind parallel. Wie gross ist der Flächeninhalt des Dreiecks AB’C’, wenn
AB ' = 3 cm, BB ' = 2 cm und h c = 2.5 cm?
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8. Strecke den Kreis p von Z aus so, dass der Bildkreis die Gerade g berührt.
9. Einem Viertelkreis soll ein Kreis einbeschrieben werden.
10. Knacknuss: A 'B'
ist die Parallele zu AB durch den Inkreismittelpunkt des rechtwinkligen
Dreiecks. Wie gross ist der Flächeninhalt des Dreiecks A’B’C?
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Definition:
Eine Abbildung, die sich zusammensetzt aus einer oder mehreren zentrischen Streckungen und
Kongruenzabbildungen, heisst Ähnlichkeitsabbildung.
Figuren, die durch eine Ähnlichkeitsabbildung auseinander hervorgehen, nennen wir ähnliche
Figuren: F 1 ∼ F 2 .
Immer ähnlich zueinander sind folgende Figuren:
• Quadrat
• gleichseitiges Dreieck
• Kreis
• Dreiecke mit drei entsprechend gleichen Winkeln
In diesen ähnlichen Figuren können entsprechende Verhältnisse gebildet und verwendet
werden
11. Können zwei Dreiecke ABC und A’B’C’ mit den folgenden Daten zueinander ähnlich sein?
Begründe Deine Antwort.
a) a = 4cm, b = 2,6cm, γ = 40°. und a‘ = 10cm, b‘= 6,7cm und γ‘ = 40°.
b) a = 4cm, b = 2,6cm, γ = 40°. und a‘ = 10,5cm, b‘ = 6,5cm und γ‘ = 40°.
c) a = 4cm, b = 2,4cm, γ = 40°. und a‘ = 10cm, b‘ = 6,5cm und γ‘ = 40°.
d) a = 4,2cm, b = 2,6cm, γ = 40°. und a‘ = 10cm, b‘ = 6,5cm und γ‘ = 40°.
KONSTRUKTIONSAUFGABEN
Konstruktionsaufgaben lassen sich oft so lösen, dass
• zunächst eine Hilfsfigur mit den richtigen Seitenverhältnissen aber noch nicht der korrekten
Grösse gezeichnet wird und dann
• die Hilfsfigur zentrisch gestreckt wird.
Einstiegsaufgabe:
Konstruiert werden soll ein Rechteck mit der Diagonalen e = 5 cm, dessen Seiten sich wie 3 : 1
verhalten.
Lösung: Wir zeichnen ein Hilfsrechteck, das 3-mal so lang wie breit ist. Dann strecken wir es
von der Mitte (oder von einer Ecke) aus so, dass die neue Diagonale 5 cm lang ist.
12. Konstruiere ein Dreieck aus a : h a =6 : 5 ; γ = 60°. und w β = 5cm
13. Konstruiere ein Dreieck aus b : h b =7 : 6 ; γ =70°. und w α = 5cm
14. Konstruiere ein Dreieck aus a : wγ =6:5, γ =60°. und b=6cm.
15. Konstruiere ein Dreieck aus b : wγ. =7 : 6, γ = 60°. und c =6cm.
16. Konstruiere ein Dreieck mit α = 50°. , γ = 70°. und h b =7cm.
17. Konstruiere ein Dreieck aus a : s c = 9 : 10, β = 55°. und h c =5cm.
18. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck mit s c =5cm.
19. Konstruiere ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit s a = 6cm.
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20. Konstruiere ein Dreieck mit α = 45°, β = 60°. und Umkreisradius r =4cm. (Hinweis: Der
Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.)
21. Konstruiere ein Dreieck mit α = 50°. und β = 60°. und Inkreisradius r =3cm. (Hinweis: Der
Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks. Der
Radius des Kreises kann mit dem Geodreieck von der Seite senkrecht zum Schnittpunkt
gemessen werden.)
22. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck mit Umkreisradius r =4cm. (Hinweis: Der Mittelpunkt
des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Ecken.)
23. Konstruiere ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit Inkreisradius r = 3cm. . (Hinweis:
Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks. Der
Radius des Kreises kann mit dem Geodreieck von der Seite senkrecht zum Schnittpunkt
gemessen werden.)
24. Gegeben ist (siehe Bild) ein rechtwinkliges Dreieck mit
rechtem Winkel bei C. Die Punkte M a , M b und M c sind die
Seitenmittelpunkte, H c ist der Höhenfusspunkt der Seite c.
Die Punkte D und E sind die eingezeichneten Schnittpunkte.
a) Welche der Dreiecke M c M b M a und DEM a und M c H c E
sind zueinander ähnlich?
b) Wie lang ist DM a , wenn bekannt ist,
dass H c B =2cm? Begründung?
c) Wie gross ist die Fläche von DEM a , wenn bekannt ist, dass H c B = 2cm und
CH c = 2,8cm?
25. Wie gross ist der Flächeninhalt des Trapezes ABED?
Die Strecke AD hat die Länge 4,4 cm,
die Strecke DE ist 6 cm lang.
Das Dreieck DEC hat die Fläche 9.9 cm 2 .
26. Das gleichseitige Dreieck ABC hat die Seitenlänge 10 cm.
Berechne jeweils die punktierten Flächeninhalte.
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