Modellierung

Modellieren
Reale Welt – Welt der Mathematik
Plenum Mathe 11 Kepler 2011

Kenntnisse in der
Welt der Mathematik
!
Funktion, ganzrationale Funktionen
Nullstellenberechnung, Vielfachheiten
Grenzwertverhalten, Symmetrie, Monotonie
Bestimmen von Schnittpunkten
Bestimmen von Extremstellen und Extrempunkten
Bestimmen von Wendestellen und Wendepunkten
Skizzieren von Graphen (auch: graphisch ableiten)
Zusammenhänge zwischen Funktionsgraph und
Ableitungsgraph
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Heute:
Zusammenhänge
Wie können wir unsere
mathematischen Kenntnisse bei
realen Problemen nutzen?
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Vor Weihnachten:
Wann verläuft die
Nikolausproduktion
gewinnbringend?
Nullstellen der Funktion berechnen
Jetzt:
Plenum Mathe 11 Kepler 2011

Im tropischen Regenwald führen die Pflanzen einen enormen Kampf um das Licht.
Lianen z.B. wachsen erstaunlich schnell, um an den Urwaldriesen entlang nach oben
zum Licht zu kommen. Man beobachtete eine Liane über einen längeren Zeitraum
und stellte fest, dass die Länge der Liane in Abhängigkeit von der Zeit in etwa
durch eine ganzrationale Funktion 4. Grades beschrieben werden kann, die im
Ursprung einen Sattelpunkt (Wendepunkt mit waagerechter Tangente) hat.
(Beobachtungsbeginn ist zur Zeit x=0, wenn der Keimling aus dem Erdboden
kommt.)Aus Messergebnissen stellte man fest, dass f folgende Funktionsgleichung
hat:
1 1
l ( x)
= − x
4
+ x
3
60000 500
(x ist die Zeit in Tagen, l(x) ist die Länge in dm).
a) Wann ist das Wachstum der Pflanze am größten und wie viel wächst sie an diesem
Tag?
b) Nach wie viel Tagen hört nach diesem Modell die Pflanze auf zu wachsen?
c) Wie lang ist die Liane nach 60 Tagen, und wie lang ist sie, nachdem sie das
Längenwachstum eingestellt hat?
d) Wie lang ist die Liane nach einem Jahr?
e) Zeichne die Funktion ins Heft (nur für positive x- und y-Werte – warum?). Wie muss
man den Definitionsbereich der Funktion bei diesem Modell sinnvoll wählen?
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Wie lösen wir ein Problem in
der realen Welt?
Reale Welt
Welt der
Mathematik
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Wie lösen wir ein Problem in
der realen Welt?
Verstehen!
Übertragen!
Rechnen in Welt
der Mathematik
zurück übertragen
Problemlösung angeben
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Wie lösen wir ein reales Problem?
Verstehen!
Übertragen!
Problem verstehen! Worum geht es?
Was will ich wissen? (Skizzen machen,
mit anderen diskutieren, …)
reales Problem mathematisch
formulieren
Rechnen
zurück übertragen
Passt die
Modellierung?
Angeben
Welche mathematischen Werkzeuge/
Methoden brauche ich? mathematisch
lösen (bekannte Verfahren!)
rechnerische Lösung auf reale
Problemstellung übertragen
Problemlösung angeben
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Im tropischen Regenwald führen die Pflanzen einen enormen Kampf um das Licht.
Lianen z.B. wachsen erstaunlich schnell, um an den Urwaldriesen entlang nach oben
zum Licht zu kommen. Man beobachtete eine Liane über einen längeren Zeitraum
und stellte fest, dass die Länge der Liane in Abhängigkeit von der Zeit in etwa
durch eine ganzrationale Funktion 4. Grades beschrieben werden kann, die im
Ursprung einen Sattelpunkt (Wendepunkt mit waagerechter Tangente) hat.
(Beobachtungsbeginn ist zur Zeit x=0, wenn der Keimling aus dem Erdboden
kommt.)Aus Messergebnissen stellte man fest, dass f folgende Funktionsgleichung
hat:
1 1
l ( x)
= − x
4
+ x
3
60000 500
(x ist die Zeit in Tagen, l(x) ist die Länge in dm).
a) Wann ist das Wachstum der Pflanze am größten und wie viel wächst sie an diesem
Tag?
b) Nach wie viel Tagen hört nach diesem Modell die Pflanze auf zu wachsen?
c) Wie lang ist die Liane nach 60 Tagen, und wie lang ist sie, nachdem sie das
Längenwachstum eingestellt hat?
d) Wie lang ist die Liane nach einem Jahr?
e) Zeichne die Funktion ins Heft (nur für positive x- und y-Werte – warum?). Wie muss
man den Definitionsbereich der Funktion bei diesem Modell sinnvoll wählen?
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Aufgabe a)
V
Es wird der Tag gesucht, an dem das Wachstum am größten ist.
(vgl. Plenum zuvor ⇒ Läufer am schnellsten)
Ü
Es wird die Stelle des Graphen gesucht, an der die
Steigung am größten ist. (Steigung maximal) Also wird
eine Wendestelle gesucht.
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R
Funktion:
Ableitungen:
1 1
l(x) = − x + x
60000 500
1
l '(
x)
= − x³
+
15000
l''(
x)
=
−
1
5000
x
4 3
2
+
1
l'
''( x)
= − x +
2500
3
500
6
500
6
500
x²
x
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Hinreichende Bedingung für Stelle mit maximaler Steigung:
2. Ableitung = 0 und 3. Ableitung < 0
l''(x) 0
= l' ''( x)
< 0
−
1 2
x
5000
+
6
500
x
=
0
→ x = 0 und x = 60
1
2
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ZA
→ Ist x = 0 ein sinnvolles Ergebnis??
NEIN!
1 6
l' ''(60) = − 60 + = − 0,012 <
2500 500
0
Am 60. Tag ist das Wachstum am größten!
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V
Wie viel wächst die Liane an diesem Tag?
Wie viele dm wächst sie an diesem Tag?
l(x)
l’(x)
beschreibt die Länge der Liane an einem Tag
beschreibt, wie schnell sie an diesem Tag wächst
(dm pro Tag), also die Geschwindigkeit, mit der
sie wächst. („Steigung der Länge“ ist die
„Geschwindigkeit der Länge“)
l’’(x) beschreibt, die „Geschwindigkeit der
Geschwindigkeit“ (die „Beschleunigung der
Länge“)
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Also suchen wir den Wert der 1. Ableitung an
der Stelle x= 60: → l’(60)
1 3
15000 500
3 2
l'(60) = − 60 + 60 = 7,2
Sie wächst an diesem Tag mit der
Geschwindigkeit 7,2 dm pro Tag.
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Aufgabe b)
V
Nach wie vielen Tagen hört die Liane auf zu wachsen?
Wir suchen den Tag, an dem die Liane nicht mehr wächst.
Ü
Wir suchen die Stelle x der Funktion l, an der das Wachstum
Null ist und die Funktion l später nicht weiter wächst.
R
Also hinreichende Bedingung für Wachstum gleich Null:
l’(x) = 0 und l’’(x) < 0
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−
1 3
2
15000
x
+
3
x
500
=
0
→ x 1/2 = 0 oder x 3 = 90
ZA
Ist x = 0 sinnvolles Ergebnis??
NEIN!
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l''(90)
1 2 6
= − x + x
5000 500
=
−
0,54
ZA
Die Stelle 90 ist Maximalstelle.
Nach 90 Tagen wächst die Liane nicht
mehr.
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c)
V
Gesucht ist die Länge an einzelnen Tagen.
Ü
Also müssen wir die Funktionswerte l(60) und
l(Maximalstelle), also l(90), ausrechnen.
R
l(60) = 216 dm
l(90) = 364,5 dm
ZA
Nach 60 Tagen hat die Liane eine Länge von 216 dm, nach
90 Tagen eine Länge von 364,5 dm.
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d)
V
Gefragt ist nach der Länge der Liane nach einem Jahr, also
nach 365 Tagen.
Ü
Gesucht ist der Funktionswert an der Stelle 365, also l(365).
R
1 1
60000 500
1 1
60000 500
l(x) = − x4 + x3also
l(365) = − 3654 + 3653
≈ − 198561
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Z
Macht das Sinn? NEIN!
Eine negative Länge ist unsinnig. Also passt das Modell (die
Wahl unserer Funktionsgleichung) nicht für diesen Zeitpunkt.
Als sinnvolle Definitionsmenge kann nicht ganz R angegeben
werden. (Vgl. e)
A
Die Frage kann mit den vorhandenen Angaben nicht
beantwortet werden, da die gegebene Funktionsgleichung
offensichtlich für den Zeitpunkt keinen Sinn macht. Wenn die
Liane nicht mehr wächst, bleibt sie entweder so lang, wie sie
nach 90 Tagen war, oder sie stirbt vielleicht ab.
Hier muss also mit Informationen der Biologie die richtige
Antwort gefunden werden.
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Rückblick
Welche mathematischen Kenntnisse brauchen wir?
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Welt der
Mathematik
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Aufgaben
Siehe Arbeitsblatt!
Viel Spaß beim
Lösen der Aufgaben!
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