29. Mathematik-Olympiade am Johannes-Kepler-Gymnasium Die ...

29. Mathematik-Olympiade am
Johannes-Kepler-Gymnasium
Die Aufgaben der fünften Runde
Hintergrund
Das Spiel Seitenwechsel
Aufgaben für die Klassen 5 und 6:
Aufgaben für die Klassen 7 und 8:
Aufgaben für die Klassen 9 und 10:
Aufgabe für alle Klassenstufen
Hintergrund
"Der Mensch ... ist nur da ganz Mensch, wo er spielt." (F. Schiller: aus dem 15. Brief über die
ästhetische Erziehung des Menschen. In: Walter 1990, S.13)
Durch den gezielten Einsatz von Strategiespielen kann Mathematik bereichert, effektiver und
schülergerecht gestaltet werden. Denn Spiele machen Spaß, sind spannend und entspannend
zugleich. Sie erlauben, für eine gewisse Zeit aus der Realität in eine fiktive Welt unterzutauchen.
Spiele fristen leider vielerorts immer noch ein Nischendasein. Dabei sind Spiele eine
Bereicherung. Ganz klar: Spiele sind kein Allheilmittel für die geänderten Anforderungen in
der Schule und sollen auch nicht andere, bewährte Methoden verdrängen. Jedoch:
Wohldosiert eingesetzt, sollten sie sogar einem normalen Bestandteil des Mathematikunterrichts
werden, in Klasse 5 ebenso wie in Klasse 10. Nicht immer - aber immer öfter!
Inhalt
Vor vielen Jahren hat Herr Hagel in einer Klasse 5 eine Lerneinheit über Strategiespiele
entwickelt und diese auch dokumentiert. War das ein Hallo, als die Schülerinnen und Schüler
der Klasse 5 unter den wohlwollenden Blicken ihrer Grundschullehrerinnen und
Grundschullehrer und unter dem gestrengen Blick unseres Schulleiters die Schülerinnen und
Schüler des Oberstufen-Leistungskurses im die Tasche steckten und nach Strich und Faden
nass machten. Die „Kleinen“ hatten Spiele entworfen, gebastelt und die zugehörigen
Strategien entwickelt. Die „Großen“ hatten tatsächlich kaum eine Chance, auch nur einmal
ein Spiel zu gewinnen. Herr Hagel hat uns diese Unterlagen zur Verfügung gestellt. Die
Aufgaben der nächsten vier Runden beziehen sich auf diese Arbeit.
Unser Interesse ist es, die Schülerinnen und Schüler durch Strategiespiele in ihrem
beweglichen Denken und in ihrem sozialen Lernen zu fördern. Bewegliches Denken heißt hier
vorausschauendes, regelgerechtes und schlussfolgerndes Denken, kombinatorisches und
logisches Denken, Erkennen von Strukturen oder allgemeiner gesagt, analogisieren und
generalisieren. Sowohl durch den Einsatz der Spiele als auch durch die Projektorientierung,
welches fächerübergreifendes Lernen impliziert, sollen die Schülerinnen und Schüler
ganzheitlich, selbstbestimmt und entdeckend lernen.
Inhalt

Das Spiel Seitenwechsel
Für dieses Spiel benötigt man einen Streifen mit sieben quadratischen Feldern und drei
schwarze und drei weiße Spielmarken.
Inhalt
Ausgangsstellung: drei weiße Spielmarken in den drei linken Feldern, drei schwarze
Spielmarken in den drei rechten Feldern, das Feld in der Mitte bleibt frei (s. Abb.).
Ziel: Die weißen Spielmarken sollen in die drei rechten Felder, die schwarzen in die drei
linken Felder gelangen. Wenn das Ziel erreicht ist, ist das Spiel gewonnen. Wenn das Ziel
nicht mehr erreicht werden kann, ist das Spiel verloren. Hier kämpfen also beide Spieler
gegen die Tücken des Spiels und nicht gegeneinander.
Regeln:
1. Bei diesem Spiel für eine Person oder für zwei Personen wird abwechselnd ein weißer
und ein schwarzer Stein gezogen.
2. Es darf nur jeweils nur ein Stein bewegt werden.
3. Die weißen Steine dürfen nur nach rechts, die schwarzen nur nach links verschoben
werden.
4. Ein Zug in ein freies Nachbarfeld in der erlaubten Richtung ist möglich.
5. Ein benachbartes besetztes Feld darf übersprungen werden, wenn das Feld dahinter
frei ist.
Inhalt

Inhalt
Aufgaben für die Klassen 5 und 6:
Gib eine mögliche Lösung für das Spiel Seitenwechsel an.
Tipp: Löse zuerst das Problem für
das folgende Spielfeld:
Löse danach das Problem für das
Spielfeld mit fünf Feldern:
und versuche dich danach an dem Spielfeld mit 7 Feldern.
Inhalt
Aufgaben für die Klassen 7 und 8:
a) Löse die Aufgaben für die Klassen 5 und 6.
b) Beschreibe mit Worten eine günstige Lösungsstrategie für das Spiel „Seitenwechsel“.
Aufgaben für die Klassen 9 und 10:
a) Löse die Aufgaben für die Klassen 5 bis 8.
b) Gib eine Strategie an, mit der du das Problem des Seitenwechsels für ein Spiel mit 9
Feldern lösen kannst.
c) Gib eine Strategie an, mit der du das Problem des Seitenwechsels für ein Spiel mit einer
beliebigen ungeraden Anzahl von Feldern lösen kannst.
Inhalt
Aufgabe für alle Klassenstufen
Was ist denn eine vollkommene (oder perfekte) Zahl?
Gib Beispiele für vollkommene Zahlen an!
Inhalt