Nachklausur zur Analysis II (nicht vertieft) Name Matrikelnr. Nr ... - IWR

Nachklausur zur Analysis II (nicht vertieft)
Universität Bayreuth
Mathematisches Institut
Prof. Dr. M. Dettweiler
Michael Schulte
Sommersemester 2011
06.10.11, 10.00-12.00 Uhr
Dauer: 2 Stunden
Hilfsmittel: Für diese Klausur sind keinerlei Hilfsmittel zugelassen.
Punkte: Aus den 4 Aufgaben mit jeweils 4 Punkten ergibt sich die Gesamtpunktzahl
von 16 Punkten.
Bestehen: Zum Bestehen der Klausur sind 8 Punkte hinreichend.
Bearbeitung: Verwenden Sie für jede Aufgabe ein gesondertes Blatt und beschriften
Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer.
Name
Matrikelnr.
Nr. 1 2 3 4
∑
Punkte
Kürzel
Viel Erfolg!
1

Name:
Mat.Nr.:
Aufgabe 1.
(4 Punkte)
a) Formulieren Sie das Riemannsche Integrabilitätskriterium.
b) Formulieren Sie den ersten Mittelwertsatz der Integralrechnung.
c) Sei a ∈ ]b,c[. Geben Sie zum Entwicklungspunkt a ∈ I die Taylor-Formel
einer (n+1)-mal stetig differenzierbaren Funktion f : ]b,c[→ R inklusive
eines Ausdrucks für das Restglied an.
d) Ergänzen Sie den folgenden Satz: Eine Funktion f : R 2 −→ R heißt partiell
differenzierbar, falls ....
2

Name:
Mat.Nr.:
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
Zeigen Sie: Jede monoton fallende Funktion f : [a,b] −→ R ist integrierbar.
3

Name:
Mat.Nr.:
Aufgabe 3.
(4 Punkte)
a) Zeigen Sie mittels partieller Integration das Folgende:
∫ x
0
t 3 exp(−t 2 ) dt = 1 2 − 1 2 (x2 +1)exp(−x 2 ).
b) Geben Sie auf dem Intervall I = R alle Lösungen der Differentialgleichung
y ′ = 2xy +x 3 an.
4

Name:
Mat.Nr.:
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
a) Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von f : ]−1,1[−→ R mit f(x) =
x
1−x 2 und damit eine Stammfunktion von f.
b) Auf R×R >0 sei die Differentialgleichung (∗) : y ′ = y 2 gegeben. Finden Sie
mit der Methode der getrennten Variablen ein offenes Intervall I, welches
die 0 enthält, und eine Lösung ϕ von (∗) auf I mit ϕ(0) = c > 0.
5