Blatt 2 - IWR

Übungen zur Einführung in die Geometrie:
Differentialgeometrie und Topologie
Sommersemester 2011
Universität Bayreuth
Mathematisches Institut Blatt 2
Prof. Dr. M. Dettweiler
Michael Schulte
Abgabe: Mo, den 16.5.2011, bis 14 Uhr
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
Sei (X,T ) ein topologischer Raum und B,B ′ ⊆ X Teilmengen. Zeigen Sie:
a) B ◦ ⊆ B ist offen.
B ist genau dann offen, wenn B ◦ = B.
b) B ⊇ B ist abgeschlossen.
B ist genau dann abgeschlossen, wenn B = B.
c) B = B ◦ ⊎∂B und ∂B = B \B ◦
d) ∅ = ∅ und X = X
B = B und B ∪B ′ = B ∪B ′
Aufgabe 3.
(4 Punkte)
Sei X die 3-elementige Menge {a,b,c} (vgl. Übungsblatt 1) und T 1 ,...,T 9 die in
der Lösung angegebenen Topologien. ⎧(vgl. Übungsblatt 1).
⎨ a für 1 < x
Weiter sei f : R −→ X mit f(x) = b für −1 < x ≤ 1 .
⎩
c für x ≤ −1
a) Bestimmen Sie bzgl. welcher der Topologien X zusammenhängend ist.
b) Überlegen Sie wenn R mit der euklidischen Topologie versehen ist, welche
der Topologien auf X die Funktion f stetig werden lässt.
c) Zeigen Sie, dass jede Metrik auf X die diskrete Topologie induziert.
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
Zeigen Sie, dass eine Funktion f : R −→ R genau dann stetig auf R im Sinne der
Analysis ist, wenn sie stetig bezüglich der euklidischen Topologie ist.
Bitte wenden

Aufgabe 5.
(4 Punkte)
Sei X eine Menge und L ⊆ P(X), so dass X = ⋃
folgender Aussagen:
V∈L
(i) Es existiert eine Topologie T auf X mit Basis L.
V. Zeigen Sie die Äquivalenz
(ii) Seien U,V ∈ L, so dass es ein x ∈ U ∩V gibt, so existiert ein W ∈ L mit
x ∈ W ⊆ U ∩V.
Hinweis: In diesem Fall gilt T =
Topologie ist eindeutig bestimmt.
{
U ⊆ X
∣ ∃L′ ⊆ L mit U = ⋃
V∈L ′ V
}
, d.h. die
Die Übungsblätter sowie weitere Informationen zur Vorlesung
”Einführung in die Geometrie: Differentialgeometrie und Topologie”
finden Sie unter folgendem Link
http://www.zahlentheorie.uni-bayreuth.de/teaching/SS11-DiffGeoTopo.htm