¨Ubungen zur Linearen Algebra 2 — Blatt 13 - IWR

Übungen zur Linearen Algebra 2 — Blatt 13
Prof. Dr. G. Böckle Sommersemester 2011,
Dr. A. Maurischat
Abgabe: Di 12.7.2011, 9.00 Uhr
48. Aufgabe: (2 Punkte) Bestimmen Sie alle möglichen Elementarteilerlisten (d 1 , . . . , d l ) eines
Z-Moduls mit 48 Elementen und geben Sie zu jeder Liste ein Beispiel an.
Bemerkung: Da Elementarteiler stets nur bis auf Assoziiertheit eindeutig sind, genügt es die
Listen mit d i ∈ N 0 zu bestimmen.
49. Aufgabe: (3 Punkte) Es seien R ein Integritätsbereich, p ∈ R ein Primelement, M ein
R-Modul und M[p ∞ ] der p-primäre Anteil von M. Zeigen Sie:
(a) M[p ∞ ] ist ein Untermodul von M.
(b) Ist N ein weiterer R-Modul, so gilt (M ⊕ N)[p ∞ ] = M[p ∞ ] ⊕ N[p ∞ ] (aufgefasst als Untermoduln
von M ⊕ N).
50. Aufgabe: (2 Punkte) Es seien R ein Hauptidealring, M ein endlich erzeugter R-Modul und
Ann(M) := {r ∈ R | r · m = 0 für alle m ∈ M} das Annulatorideal von M. Zeigen Sie:
(a) M ist genau dann ein Torsionsmodul, wenn Ann(M) ≠ 0 gilt.
(b) Ist M Torsionmodul mit Elementarteilern d 1 , . . . , d l (nach Teilbarkeit geordnet), so wird
das Ideal Ann(M) von d l erzeugt.
Hinweis: Verwenden Sie den Struktursatz über endlich erzeugte R-Moduln.
51. Aufgabe: (6 Punkte) Es seien K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum
und ϕ ∈ End(V ) ein Endomorphismus. Wie üblich betrachten wir (V, ϕ) als K[T ]-Modul mittels
f · v := f(ϕ)(v) für alle f ∈ K[T ] und v ∈ V .
Für v ∈ V definieren wir das ϕ-Erzeugnis L ϕ (v) von v als die K-lineare Hülle von {ϕ i (v) | i ∈ N 0 },
und v heißt ϕ-Erzeuger von V , wenn L ϕ (v) = V gilt. (In diesem Fall heißt der Vektorraum V
ϕ-zyklisch mit Erzeuger v.)
Sei nun v ∈ V ein beliebiger Vektor.
(a) Zeigen Sie, dass die Menge I v := {g ∈ K[T ] | g · v = 0} ein Ideal in K[T ] ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Elemente v, ϕ(v), . . . , ϕ dim K(V ) (v) linear abhängig sind, und folgern
Sie, dass I v ≠ {0}.
(c) Es sei f v ∈ I v der normierte Erzeuger von I v . Zeigen Sie, dass
α : K[T ]/(f v ) ↦→ V, [g] ↦→ g · v
ein wohldefinierter injektiver K[T ]-Modul-Homomorphismus ist.
(d) Zeigen Sie, dass α aus Teil (c) genau dann ein Isomorphismus ist, wenn v ein ϕ-Erzeuger von
V ist, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn die Elemente v, ϕ(v), . . . , ϕ dim K(V )−1 (v)
linear unabhängig sind.
(e) Zeigen Sie: Ist V = K[T ]/(f) für ein f ∈ K[T ] \ {0} und ϕ = ϕ T die Multiplikation mit T ,
so ist V ϕ-zyklisch. Bestimmen Sie auch einen ϕ-Erzeuger von V .

Vorschläge zur Gruppenarbeit
(Diese Aufgaben sind nicht abzugeben, sondern werden teilweise in den Übungsgruppen bearbeitet.)
41. Vorschlag: (a) Wir betrachten den Z-Modul M = Z/(120).
Bestimmen Sie alle Primzahlen p ∈ Z, für welche der p-primäre Anteil von M nicht 0 ist
und bestimmen Sie diese p-primären Anteile.
(b) Bestimmen Sie die Elementarteiler und die Elementarteiler der Primärkomponenten der
folgenden Z-Moduln:
Z/(3) ⊕ Z/(7) ⊕ Z/(15), Z/(15) ⊕ Z/(27), Z/(2010) ⊕ Z/(2011).
(c) Bestimmen Sie die Elementarteiler und die Elementarteiler der Primärkomponenten der
folgenden Q[T ]-Moduln:
Q[T ]/(T 3 +T 2 −T −1), Q[T ]/(T 2 −1)⊕Q[T ]/(T −1), Q[T ]/(T 3 +T 2 +T +1)⊕Q[T ]/(T 2 −1).
42. Vorschlag: Es seien R ein Intergritätsbereich und M ein R-Modul. Zeigen Sie:
(a) Für m ∈ M ist Ann(m) := {r ∈ R | r · m = 0} ein Ideal in R.
(b) Ist M zyklisch mit Erzeuger m ∈ M, d.h. Rm := {rm | r ∈ R} = M, so ist die Abbildung
R/Ann(m) → M, r ↦→ rm ein wohldefinierter R-Modul-Isomorphismus
43. Vorschlag: Sei R ein Integritätsbereich und α : V n (R) → V m (R) ein injektiver R-Homomorphismus.
Zeigen Sie, dass dann n ≤ m gilt.
Die Übungsblätter sowie weitere Informationen zur Vorlesung Lineare Algebra 2 finden Sie unter
http://www.iwr.uni-heidelberg.de/~Andreas.Maurischat/la2-2011