Numerik 1: Wiederholungsfragen - IWR - Ruprecht-Karls-Universität ...

Interdisziplinäres Zentrum
für Wissenschaftliches Rechnen (IWR)
Ruprecht–Karls–Universität Heidelberg
Website zur Vorlesung: http://bit.ly/HVGLls
Prof. Dr. Dr. h.c. H.G. Bock,
C. Kirches, A. Potschka
11. Juli 2012
Theorie von ODE AWP
Numerik 1: Wiederholungsfragen
SS 2012
13. Übungsblatt
1. Was versteht man unter einem Anfangswertproblem?
2. Wie sieht die Integralform des Anfwangswertproblems aus?
3. Kann man jede gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung auf eine Differentialgleichung
erster Ordnung transformieren? Wenn ja, wie?
4. Was versteht man unter einer autonomen Differentialgleichung?
5. Kann man jede nicht-autonome Differentialgleichung in eine autonome transformieren?
6. Wie lautet der Satz von Peano? Was ist die Beweisidee?
7. Geben Sie ein physikalisch motiviertes Beispiel einer ODE mit unstetiger rechter Seite!
8. Wie ist Lipschitz-Stetigkeit definiert?
9. Wie lautet der Satz von Picard-Lindelöf?
10. Ist jede Lipschitz-stetige Funktion differenzierbar?
11. Wie lautet der lokale Stabilitätssatz?
12. Wie lautet das (kontinuierliche) Lemma von Gronwall?
13. Wie lautet die Trompetenabschätzung?
14. Geben Sie ein Beispiel einer ODE mit nicht Lipschitz-stetiger rechter Seite!
15. Was kann man beweisen, wenn die rechte Seite global Lipschitz-stetig ist?
16. Wie lauten die Variationsdifferentialgleichungen für die Ableitungen eines AWP nach
Anfangszeit, Anfangswert und Parametern?
17. Was kann man über deren Existenz und Eindeutigkeit aussagen?
18. Wie lautet die adjungierte Differentialgleichung? Welchen Nutzen hat ihre Lösung?
19. G(t) bezeichne die Jacobimatrix der Lösung y(t) eines AWP abgeleitet nach dem Anfangswert
y 0 . Wie berechnet man numerisch am effizientesten eine Zeile, wie eine Spalte
von G(t)?
20. Wie lautet die Definition der Wronski-Matrix W (t, s). Welche Eigenschaften erfüllt
W (t, s)?
Einschrittverfahren
1. Welche allgemeine Form haben explizite Einschrittverfahren?
2. Welche allgemeine Form haben implizite Einschrittverfahren?
3. Welche allgemeine Form haben explizite Runge–Kutta-Verfahren?
4. Was ist ein Butcher-Tableau?

5. Wie lauten das explizite Eulerverfahren, das Verfahren von Heun und das implizite
Eulerverfahren?
6. Wann heißt ein Einschrittverfahren konsistent?
7. Wie ist die Konsistenzordnung eines Einschrittverfahrens definiert?
8. Welche Bedingung an die b i gilt notwendig für konsistente Runge–Kutta-Methoden?
9. Wann heißt ein Einschrittverfahren konvergent?
10. Wie ist die Konvergenzordnung eines Einschrittverfahrens definiert?
11. Wann heißt ein Einschrittverfahren stabil? Was ist hinreichend für Stabilität?
12. Wie lautet präzise der Satz, den man sich gerne als ”
Konsistenz + Stabilität ⇒ Konvergenz“
merkt?
13. Folgt aus der Lipschitz-Stetigkeit der rechten Seite die des Runge–Kutta-Verfahrens?
14. Wie bekommt man eine kontinuierliche Darstellung der Lösung bei einem Einschrittverfahren?
15. Was versteht man unter einem diagonal-impliziten Runge-Kutta-Verfahren?
16. Basiert die Schrittweitensteuerung auf einer Schätzung des lokalen oder des globalen
Fehlers? Warum?
17. Wie wird bei Einschrittverfahren die Schrittweitensteuerung praktisch realisiert?
18. Wie oft muss die rechte Seite stetig differenzierbar sein, damit die Schrittweitensteuerung
erfolgreich funktioniert?
Steife Differentialgleichungen
1. Geben Sie zwei Charakterisierungen für steife ODEs an!
2. Was versteht man unter A-Stabilität?
3. Wie ist das Stabilitätsgebiet eines Einschrittverfahrens definiert?
4. Wie sehen die Stabilitätsgebiete des expliziten und impliziten Eulerverfahrens aus?
Nichtlineare Gleichungen
1. Was ist das Newton-Verfahren?
2. Was versteht man unter Newton-Typ-Verfahren?
3. Wie lautet der Lokale Kontraktionssatz?
4. Was beschreiben die Konstanten κ und ω?
5. Was versteht man unter affiner Invarianz?
6. Wie sind Niveaumenge und Niveaufunktion definiert?
7. Was versteht man unter Liniensuche?
8. Welche Bedingungen gelten bei der Liniensuche nach Armijo und Goldstein?
Lineare Mehrschrittverfahren
1. Welche allgemeine Form haben LMSV?
2. Was sind Adams–Bashforth-Verfahren?
3. Was sind Adams–Moulton-Verfahren?
4. Bei welchem Adams-Verfahren treten implizite Systeme auf? Wie kann man diese numerisch
lösen?
5. Welche Verfahren stecken hinter PEC, PECE und PECEC?
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6. Wie funktioniert die adaptive Ordnungssteuerung?
7. Wie sind bei Mehrschrittverfahren die Definitionen vom Lokalen Diskretisierungsfehler,
Konsistenz und Konsistenzordnung?
8. Wie sind die charakteristischen Polynome ρ(λ) und σ(λ) definiert?
9. Wie ist Nullstabilität definiert?
10. Wie lautet der Satz von Dahlquist über die Konvergenz von LMSV?
11. Wie lautet der Satz von Hirsch?
12. Wie lautet der Satz von Dahlquist über die maximale Konvergenzordnung von LMSV?
13. Wann ist ein LMSV A-stabil?
14. Was ist die maximale Ordnung eines A-stabilen LMSV?
15. Welche Art von Stabilitätsgebieten erreichen BDF-Verfahren?
16. Wie löst man die impliziten Gleichungen beim BDF-Verfahren effizient?
Randwertprobleme
1. Was versteht man unter einem RWP?
2. Wann ist ein lineares RWP eindeutig lösbar?
3. Geben Sie ein hinreichendes Kriterium für die lokale Eindeutigkeit einer Lösung eines
RWPs an!
4. Wie funktioniert das Einfachschießverfahren? Was sind die Vor- und Nachteile?
5. Folgt aus der Wohlgestelltheit des AWP die Wohlgestelltheit des RWP?
6. Folgt aus der Wohlgestelltheit des RWP die Wohlgestelltheit des AWP?
7. Wie funktioniert die Mehrzielmethode? Was sind die Vor- und Nachteile?
8. Welche spezielle Struktur haben die dabei zu lösenden linearen Gleichungssysteme?
9. Was versteht man unter Kondensieren? Beschreiben Sie zwei Varianten!
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