30.11.2006 (II.3 Charakterisierung von Dualräumen) - IWR

II.3. Charakterisierung von Dualräumen 11
Verallgemeinerungen des Rieszschen Darstellungssatzes
In der letzten Vorlesung wurde der transponierte bzw. adjungierte Operator eingeführt.
Dieser verallgemeinert den Begriff der transponierten Matrix aus der Linearen Algebra für
den Fall beliebiger normierter Räume.
Um das einzusehen, betrachte man die kennzeichnende Eigenschaft einer adjungierten
Abbildung A ∗ einer linearen Abbildung A : X → Y für X = K m und Y = K n :
〈 Ax , y
〉
Y×Y = 〈 x , A ∗ y 〉 X×X
für alle x ∈ X und y ∈ Y,
wobei hier mit 〈· , ·〉 das jeweilige Skalarprodukt bezeichnet sei. Genau diese Gleichung
wollen wir nun im möglicherweise unendlichdimensionalen Fall wieder finden. Hierzu
definieren wir den Begriff der dualen Paarung.
Definition (Duale Paarung). Eine bilineare Abbildung b : X × Y → C zweier Vektorräume X
und Y nennt man duale Paarung, falls diese punktetrennend ist. Das soll bedeuten:
(a) Für alle x ∈ X \ {0} existiert ein y ∈ Y mit b(x, y) 0, und
(b) für alle y ∈ Y \ {0} existiert ein x ∈ X mit b(x, y) 0.
Das Tripel (X, Y, b) nennt man duales Paar. Meist schreibt man aber in Analogie zum Skalarprodukt
Beispiele.
〈 〉 x , y
X×Y
= b(x, y).
(a) Das Skalarprodukt eines Hilbertraumes H definiert eine duale Paarung auf H × H.
(b) Sei X ein normierter Raum und X ′ sein Dualraum. Dann definiert
〈 x , x
′ 〉 X×X ′ = x′ (x)
eine duale Paarung auf X × X ′ und
〈 x ′ , x 〉 X ′ ×X = x′ (x)
eine duale Paarung auf X ′ × X.
Definition (Adjungierte). Sei A ∈ L (X, Y). Dann ist der transponierte (adjungierte) Operator
definiert als der Operator A ∗ ∈ L (Y ′ , X ′ ), welcher
〈 Ax , y
′ 〉 Y×Y
= 〈 x , A ∗ y ′〉 ′ X×X
für alle x ∈ X und y ′ ∈ Y ′ ,
′
bzw.
〈 y ′ , Ax 〉 Y ′ ×Y = 〈 A ∗ y ′ , x 〉 X ′ ×X
für alle x ∈ X und y ′ ∈ Y ′
erfüllt. Schreibt man diese duale Paarungen wieder aus, so erhält man
y ′ (Ax) = A ∗ y (x) für alle x ∈ X und y ′ ∈ Y ′ .
Analog ist A ∗∗ ∈ L (X ′′ , Y ′′ ) definiert als
〈 A ∗∗ x ′′ , y ′〉 Y ′′ ×Y
= 〈 x ′′ , A ∗ y ′〉 ′ X ′′ ×X
für alle x ′′ ∈ X ′′ und y ′ ∈ Y ′ .
′

12 Kapitel II. Duale Räume
Bemerkung. Auf einem Hilbertraum H gibt es somit zumindest zwei naheliegende Kandidaten
für die Adjungierte: Zum einen bezüglich des Skalarproduktes und zum anderen
bezüglich des Einsetzungshomomorphismus als dualem Produkt. Da aber H und H ′ nach
dem Rieszschen Darstellungssatz isometrisch isomorph sind, überträgt sich ebenfalls diese
Isomorphie als Konjugation auf die Adjungierten. Sei die Skalarprodukt-Adjungierte mit A ∗
(Hilbertraum-Adjungierte) bezeichnet, und die Adjungierte bezüglich der dualen Paarung
H × H ′ mit A ′ . Dann ist
〈 x , A ∗ y 〉 H×H = 〈 Ax , y 〉 H×H = 〈 x , A ′ y ′〉 H×H
für alle x ∈ H, y ∈ H, y ′ = τy,
′
wobei τ : H → H ′ die isometrische Isomorphie des Rieszschen Darstellungssatzes sei. Dann
gilt aber
A ∗ = τ −1 A ′ τ.
Der Riesz’sche Darstellungssatz II.3.1 lieferte einen Isomorphismus T : X → X ′ und somit
eine Darstellung des Dualraumes von X mittels der die Reflexivität von X gefolgert werden
konnte. Dass dieser Zugang auf den Fall normierter Räume verallgemeinert werden kann,
zeigt der nächste Satz.
II.3.3 Satz (Hinreichendes Kriterium für Reflexivität). Seien X und Y normierte Räume und
T : Y → X ′ und S : X → Y ′ seien (möglicherweise semilineare) Isomorphismen. Gilt außerdem
〈 x , Ty
〉
X×X ′ = 〈 Sx , y 〉 Y ′ ×Y
beziehungsweise
〈 x , Ty
〉
X×X ′ = 〈 Sx , y 〉 Y ′ ×Y
im semilinearen Fall, dann sind sowohl X als auch Y reflexiv.
Bemerkung. Wir hatten schon vorher festgestellt, dass sich X als Unterraum von X ′′ auffassen
lässt, da der Einsetzungshomomorphismus diesen Raum isometrisch abbildet. Außerdem
werden wir in den Übungsaufgaben sehen, dass T genau dann ein Isomorphismus ist wenn
T ∗ ein solcher ist. Somit ist die Adjungierte T ∗ : X ′′ → Y ′ ein Isomorphismus, aber nach
Voraussetzung des letzten Satzes ist auch dessen Einschränkung S = T ∗ ∣ ∣ ∣X : X → Y ′ ein
Isomorphismus. Das macht aber nur Sinn, falls diese Einschränkung keine war, also S = T ∗
gilt. Das ist aber die behauptete Reflexivität X ′′ = X. Der Beweis des obigen Satzes vollzieht
diese Idee noch einmal nach:
Beweis. Um die Reflexivität von X zu zeigen, muss sich jedes Element x ′′
0 ∈ X′′ als Bild j(x)
unter dem Einsetzungshomomorphismus j : X → X ′′ darstellen lassen. Also muss für ein
x 0 ∈ X gelten
〈
x
′′
0 , x′〉 = 〈 x
X ′′ ×X ′ 0 , x ′〉 X×X ′ für alle x ∈ X.
Der adjungierte Operator T ∗ ∈ L (X ′′ , Y ′ ) zu T ist definiert durch
〈 T ∗ x ′′ , y 〉 Y ′ ×Y = 〈 x ′′ , Ty 〉 X ′′ ×X ′ .

II.3. Charakterisierung von Dualräumen 13
Sei nun x ′′
0 ∈ X′′ beliebig. Da S ein Isomorphismus ist, können wir hierzu x 0 := S −1 T ∗ x ′′
0
definieren. Für dieses Element gilt aber nun für alle y ∈ Y
〈
x0 , Ty 〉 X×X ′ = 〈 Sx 0 , y 〉 Y ′ ×Y
= 〈 SS −1 T ∗ x ′′
0 , y〉 Y ′ ×Y
= 〈 T ∗ x ′′
0 , y〉 Y ′ ×Y
= 〈 x ′′
0 , Ty〉 X ′′ ×X ′ .
Da aber aufgrund der Surjektivität von T jedes Element von X ′ dargestellt werden kann als
x ′ = Ty, gilt sogar
für alle x. Somit folgt die Reflexivität von X.
Der semilineare Fall folgt aus
〈
x0 , x ′〉 X×X ′ = 〈 x ′′
0 , x′〉 X ′′ ×X ′
〈
x0 , Ty 〉 X×X ′ = 〈 Sx 0 , y 〉 Y ′ ×Y
= 〈 SS −1 T ∗ x ′′
0 , y〉 Y ′ ×Y
= 〈 T ∗ x ′′
0 , y〉 Y ′ ×Y
= 〈 x ′′
0 , Ty〉 X ′′ ×X ′ .
Die Reflexivität von Y zeigt man durch Vertauschen der Rollen von S und T.
q.e.d.
Notation (Ableitung). Seien X, Y normierte Räume, U ⊆ X offen und f : U → Y eine
Abbildung. Dann nennt man f (Gâteaux)-differenzierbar in x 0 falls es eine lineare Abbildung
T ∈ L (X, Y) gibt,
lim
ε>|h|→0
f (x 0 + hv) − f (x 0 )
h
= Tv die für alle v ∈ X
erfüllt. Man nennt T dann die Richtungsableitung von f in x 0 und schreibt D f (x 0 )v statt Tv.
Bemerkung. Gâteaux-Differenzierbarkeit entspricht der Existenz aller Richtungsableitungen,
falls man a-priori weiß, dass diese durch eine stetige lineare Abbildung definiert werden.
Wir werden nun an einem Beispiel sehen, dass sich die üblichen Ideen der Analysis
endlichdimensionaler Räume auch auf die unendlichdimensionalen Räume verallgemeinern
lassen.
II.3.4 Satz (Minimierungsproblem).
Sei H ein R-Hilbertraum und K ⊆ H eine abgeschlossene, konvexe Menge. Sei b : H × H → R eine
symmetrische Bilinearform, deren Norm der zu der des Skalarproduktes 〈· , ·〉 äquivalent ist, also
m‖x‖ 2 ≤ b(x, x) ≤ M‖x‖ 2
für alle x ∈ H
für gewisse M, m > 0 erfüllt, wobei ‖x‖ 2 = 〈x , x〉 nach Definition gilt. Ferner sei l ∈ H ′ .
Dann gibt es genau ein x 0 ∈ K, welches
b(x 0 , v) ≥ l(v) für alle v ∈ K \ {x 0 }
erfüllt. Im Falle K = H gilt sogar
b(x 0 , v) = l(v) für alle v ∈ H.

14 Kapitel II. Duale Räume
Diese Feststellung ist nicht so wichtig wie ihr Beweis, da dieser eine allgemeine Technik
verwendet.
Beweis. Sei für x ∈ H die Abbildung Φ : H → R definiert durch
Φ(x) =
1
b(x, x) − l(x).
2
Dann erfüllen aber nach Voraussetzung alle x ∈ H ebenfalls
Φ(x)
≥
( )
1
1
2 m‖x‖2 − ‖l‖ ‖x‖ =
2 m‖x‖ − ‖l‖ ‖x‖.
Da die rechte Seite für kleine Werte ‖x‖ aber beschränkt ist und für große Werte von ‖x‖ gegen
+∞ konvergiert, muss gelten
inf Φ(x) > −∞.
x∈K
Sei (x k ) k ⊆ K eine Minimalfolge, d.h. es gelte lim k Φ(x k ) = inf x∈K Φ(x). Nach der Parallelogramm-
Gleichung für b (siehe Blatt 3, Aufgabe 12) gilt für alle x k , x l nun
(2.3.1)
(2.3.2)
1
4 b(x k − x l , x k − x l ) + 1 4 b(x k + x l , x k + x l ) = 1 2 b(x k, x k ) + 1 2 b(x l, x l )
( ) 1
= Φ(x k ) + Φ(x l ) + 2l
2 (x k + x l ) .
Da aber K als konvex vorausgesetzt wurde ist jedes z = 1 2 (x k + x l ) ∈ K und erfüllt somit
m
4 ‖x k − x l ‖ 2 ≤ 1 4 b(x k − x l , x k − x l ) = Φ(x k ) + Φ(x l ) − b(z, z) + 2l (z)
= Φ(x k ) + Φ(x l ) − 2Φ(z) ≤ Φ(x k ) + Φ(x l ) − 2 inf Φ(y) −→ 0
y∈K
für k, l → ∞. Somit ist (x k ) k eine Cauchyfolge, die einen Grenzwert x 0 in H besitzt. Da K aber
als abgeschlossen vorausgesetzt wurde, muss x 0 in K liegen. Die Stetigkeit von Φ liefert daher
Für jedes v ∈ H, für das
Φ(x 0 ) = lim
k
Φ(x k ) = inf
x∈K Φ(x).
{x 0 + hv ∣ ∣ ∣ 0 ≤ h ≤ ε} ⊆ K
für ein hinreichend kleines ε gilt, muss daher die Abbildung
φ : [0, ε) → R : h ↦→ Φ(x 0 + hv)
in h = 0 ein Minimum besitzen. Da φ in h ein quadratisches Polynom darstellt, ist φ
differenzierbar und erfüllt somit φ ′ (0) ≥ 0 in jedem Fall. Gilt sogar
{x 0 + hv ∣ ∣ −ε ≤ h ≤ ε} ⊆ K,
so muss φ ′ (0) = 0 erfüllt sein. Da aber φ ′ (h) = hb(x 0 , v)−l(v) ist, folgt die behauptete Gleichung
bzw. Ungleichung.

II.3. Charakterisierung von Dualräumen 15
Die Eindeutigkeit folgt aus der strikten Konvexität von φ bzw. Φ: Angenommen, das Minimum
würde für x 0 ∈ K und für x 1 ∈ K angenommen. Dann liegt die ganze Verbindungstrecke
{x 0 + h(x 1 − x 0 ) ∣ ∣ ∣ 0 ≤ h ≤ 1} ⊆ K,
ebenfalls in K aufgrund der angenommen Konvexität. Ebenso wie (2.3.1) zeigt man
( ) 1
Φ
2 (x 0 + x 1 )
= 1 2 Φ(x 0) + 1 2 Φ(x 1) − 1 ( 1
2 b 2 (x 0 + x 1 ), 1 )
2 (x 0 + x 1 )
≤ 1 2 Φ(x 0) + 1 2 Φ(x 1) − m ∥ 1 2
2 (x 0 − x 1 )
2
∥
= inf
v∈K Φ(v) − m 2
∥ 1 2 (x 0 − x 1 ) ∥
Wäre nun also x 0 x 1 , so müsste der Wert von Φ in 1 2 (x 0 + x 1 ) strikt kleiner als das Minimum
sein, was einen Widerspruch darstellt. Somit muss x 0 = x 1 gelten, womit alle Behauptungen
gezeigt wären.
Bemerkung. Ist mit DΦ(x) die erste Ableitung und mit D 2 Φ(x) die zweite Ableitung von Φ in
x bezeichnet, so gilt für das Φ des letzten Beweises DΦ(x)v = b(x, v) − l(v) und D 2 Φ(x)(v, w) =
∥2
.
q.e.d.
b(v, w). Insbesondere ist Φ daher strikt konvex, denn D 2 Φ(x)(v, v) ≥ m‖v‖ 2 > 0 für alle v 0.
Daher kann man aus dem oben gezeigten Beweis die Kriterien der endlichdimensionalen
Analysis für Minimierungsprobleme wiederentdecken.
Folgerung. Natürlich ist das Skalarprodukt des Hilbertraumes selbst eine für die Voraussetzungen
des letzten Satzes zulässige Bilinearform. Somit existiert nach diesem Satz zu jeder
Linearform l ∈ H ′ genau ein Element x 0 ∈ H mit 〈x 0 , v〉 = l(v) für alle v ∈ H. Diese Aussage
haben wir schon früher bewiesen; es handelt sich um den Rieszschen Darstellungssatz.
Dualraum der stetigen Funktionen
II.3.5 Bemerkung (Dualraum von C([a, b]; K)). Wir wollen uns nun überlegen, wie der
Dualraum des Raumes der stetigen Funktionen aussehen könnte. Hierzu überlegen wir
uns im Folgenden einen Kandidaten für den Dualraum, untersuchen diesen und seine
Eigenschaften und werden dann zeigen, dass unsere Vermutung auch wirklich zutrifft.
Wir werden zeigen, dass jedes Element f ∈ C([a, b]; K) ′ von der Form
f (φ) =
∫ b
a
φ(x) dg(x)
ist, wobei die rechte Seite ein sogenanntes Riemann-Stieltjes-Integral darstellt.
Notation. Sei I = [a, b]. Das Riemann-Stieltjes-Integral einer reellen Funktion φ : [a, b] → R
bezüglich einem g : [a, b] → R ist definiert als Grenzwert
∫
φ dg(x) :=
k(Z )
lim
δ(Z )→0
j=1
∑
φ(a j ) ( g(a j ) − g(a j−1 ) )

16 Kapitel II. Duale Räume
über alle Zerlegungen Z des Intervalls I. Hierbei ist der Grenzwert, sofern dieser existiert,
gleichmäßig im Parameter
δ(Z ) := max { |a j − a j−1 | ∣ ∣ ∣ Z = (a = a0 , a 1 , . . . , a k = b), j = 1, . . . , k }
zu bilden.
Sei I = [a, b] und f ∈ C(I, K) ′ . Da C(I, K) ein Unterbanachraum des Raumes B(I, K) der
beschränkten Funktionen ist, muss nach Hahn-Banach, Satz II.2.3, eine Fortsetzung ˜ f auf
ganz B(I, K) existieren. Also
f˜
∈ B(I, K) ′ und ‖ f ˜ ‖ = ‖ f ‖.
Nun definieren wir
g : I → K : s ↦→ ˜ f (χ (a,s] ).
Ziel ist es nun, den Zusammenhang zwischen f und g zu finden. Sei hierzu eine Zerlegung
Z gegeben durch a = a 0 < a 1 < . . . < a k = b. Dann erfüllen ˜ f und g nach Definition für
j = 1, . . . , k
˜ f (χ (aj−1 ,a j ]) =
˜ f (χ (a,aj ] − χ (a,aj−1 ]) = g(a j ) − g(a j−1 ).
da ˜ f linear ist. Somit gilt für Treppenfunktionen ∑ k
j=1 c jχ (aj−1 ,a j ]
⎛
⎞
k∑
(2.3.3) f ˜ c ⎜⎝ j χ (aj−1 ,a j ] ⎟⎠ =
j=1
k∑ (
c j g(aj ) − g(a j−1 ) ) .
Für eine stetige Funktion φ ∈ C([a, b]; K) konvergieren die Treppenfunktionen
j=1
k∑
φ(a j )χ (aj−1 ,a j ]
j=1
aber gleichmäßig gegen φ in δ(Z ) → 0 aufgrund der gleichmäßigen Stetigkeit von φ. Daher
liefert die Stetigkeit von f bzw. f ˜ für φ ∈ C([a, b]; K)
f (φ) = f ˜ (φ) = lim f ˜(
δ(Z )→0
= lim
δ(Z )→0
k∑
φ(a j )χ (aj−1 ,a j ])
j=1
k∑
φ(a j ) ( g(a j ) − g(a j−1 ) ) =
j=1
∫ b
a
φ(x) dg(x),
falls dieser Grenzwert existiert.
Wir haben daher motiviert, dass für jedes f ∈ C(I, K) ′ ein g : I → K existieren sollte mit
f (φ) =
∫ b
a
φ(x) dg(x)
für alle φ ∈ C(I, K).
Die hier möglichen g müssen allerdings noch genauer charakterisiert werden.

II.3. Charakterisierung von Dualräumen 17
Es müsste für alle c j , j = 1, . . . , k, die als mögliche Funktionswerte φ(a j ) von stetigen
Funktionen auftreten könnten, gelten
∣ ∣∣∣∣∣∣∣ k∑ ( c j g(aj ) − g(a j−1 ) ) k∑
=
f ˜
( )
c
∣
j χ (aj−1 k∑
,a j ]
=
j=1
∣
f ˜
( c
j=1
∣
j χ (aj−1 ,a j ])
∣
j=1 ∣
≤ ‖ f ˜
‖ B ′
∥ ∑ k
j=1 c jχ (aj−1 ,a j ] ∥ = ‖ f ˜ ‖ B ′ max |c
B
j|
j=1,...,k
≤ ‖ f ‖ C[a,b] ′ ‖φ‖ C[a,b] .
Wir können aber φ und damit die Gewichte c j = φ(a j ) nun so wählen, dass
c j
(
g(aj ) − g(a j−1 ) ) = ∣ ∣ ∣g(aj ) − g(a j−1 ) ∣ ∣ ∣
gilt und dabei noch ‖φ‖ = 1 einhalten indem wir φ als stückweise lineare Interpolation
zwischen den Werten sign ( g(a j ) − g(a j−1 ) ) wählen. Damit durch ∫ b
· dg also ein lineares
a
stetiges Funktional f ˜ definiert sein kann, müsste also zumindest
k∑
∣
∣g(a j ) − g(a j−1 ) ∣ ∣ ≤ ‖ ˜
j=1
für alle Zerlegungen Z des Intervalls gelten. Dieses ist der Kern der nächsten Definition.
II.3.6 Definition (Beschränkte Variation). Sei I = [a, b] ⊆ R. Dann nennt man eine Funktion
f ‖B ′
g : I → K von beschränkter Variation, falls die sogenannte Variation
(2.3.4) var(g, I) := sup { ∑ k ∣
∣g(a j ) − g(a j−1 ) ∣ ∣ ∣∣∣ ∣ Z ist eine Zerlegung von I }
j=1
von g endlich ist. Die Menge der Funktionen von beschränkter Variation bezeichnet man mit
BV(I, K).
Notation. Wie man leicht einsieht, ist die Variation einer konstanten Funktion g, g(x) ≡ c,
var(g, I) = 0. Daher führt man
(2.3.5) ‖g‖ BV := |g(a)| + var(g, I)
ein und zeigt, dass hierdurch BV(I, K) zu einem normierten Raum wird.