Lösung Aufgabe 5.2.1 Verlauf der Isobaren und Isochoren im T,s ...

Lösung Aufgabe 5.2.1
Verlauf der Isobaren und Isochoren im T, s-Diagramm
Isobare:
Aus Fundamentalgleichung:
T ds = dh − vdp
ideales Gas:
dh = c p dT
⎫
⎪⎬
⎪⎭ T ds = c p dT − vdp
dp = 0 ⇒ T (ds) p = c p (dT ) p
⇒
( ) ∂T
= T ∂s p c p
Isochore:
Aus Fundamentalgleichung:
T ds = du + pdv
ideales Gas:
du = c v dT
⎫
⎪⎬
⎪⎭ T ds = c v dT − pdv
dv = 0 ⇒ T (ds) v = c v (dT ) v
⇒
( ) ∂T
= T ∂s v c v
Da c p − c v = R gilt c p > c v , und es folgt:
( ) ( )
∂T ∂T
/ = T / T = c p
= κ > 1
∂s v ∂s p c v c p c v
1

Das Verhältnis der Steigung der
Isochoren zur Isobaren entspricht
an jeder Stelle dem Verhältnis der
spezifischen Wärmen.
h
v = const arctan(T/c p )
Außerdem verlaufen die Isobaren
stets flacher als die Isochoren.
p = const
arctan(T/c v )
Isobare und Isochore haben bei konstanten
spezifischen Wärmen c p und
c v auf Isothermen stets die gleiche
Steigung.
s
Die Funktionen T (s) für isobare und isochore Zustandsänderungen erhält
man durch Integration der jeweiligen Differentiale
( ) ∂T
= T ,
∂s p c p
( ) ∂T
= T .
∂s v c v
Diese haben die allgemeine Form
( ) dT
= 1 ds c T .
Durch Trennung der Variablen und Integration erhält man
dT
T
= 1 c ds ⇒ ln T T 0
= 1 c (s − s 0) bzw.
T
= exp( s − s 0
)
T 0 c
Isobare:
Isochore:
T
T 0
= exp( s − s 0
c p
)
T
T 0
= exp( s − s 0
c v
)
2

Isobare:
h
p = const
p
arctan(T/c p )
Bei konstanter Temperatur
steigt die Entropie
für anwachsenden Druck.
s
Isochore:
h
v = const
v
arctan(T/cv)
Bei konstanter Temperatur
steigt die Entropie
für anwachsendes Volumen.
s
3