Max Planck und die Begr¨undung der Quantentheorie

Sei diese Grundmenge ε, so gibt es also insgesamt nur n = E/ε Energieportionen
zu verteilen. Es ist nun eine elementare kombinatorische Aufgabe, zu berechnen,
wie viele Möglichkeiten es gibt, n Portionen Energie (oder Suppe) auf N Resonatoren
(oder Schüsseln) zu verteilen. Die Antwort ist
W =
(n + N − 1)!
n!(N − 1)!
, (11)
wobei z.B. N! die Fakultät“ der ganzen Zahl N ist, also das Produkt aller ganzen
”
Zahlen von 1 bis N: N! = 1 · 2 · · · N. Daraus erhält man mit (10) die Entropie
des Zustandes aller Resonatoren der Eigenfrequenz ν und nach weiterer Division
durch die Anzahl N dieser Resonatoren die gesuchte Entropie eines einzelnen
Resonators. Das Ergebnis kann man ausdrücken 13 durch die mittlere Energie E =
U/N eines Resonators und des noch unbekannten Energiequantums“ ε:
( ) ( ) ”
E E
S =
ε + 1 ln
ε + 1 − E ( ) E
ε ln . (12)
ε
An dieser Formel sieht man nochmals deutlich, daß es nicht möglich ist zum
Grenzfall ε → 0 überzugehen, da in diesem S unendlich wird. Damit ist die
Aufgabe nun fast gelöst, denn es gilt in der Thermodynamik immer (unabhängig
davon, ob man die statistische Interpretation der Entropie zugrundelegt), daß der
Differentialquotient der Entropie bezüglich der Energie gleich ist dem Kehrwert
der Temperatur:
dS
dE = 1 T . (13)
Wendet man dies auf (12) an, so kann man sofort E als Funktion von ε und T
berechnen, was dann eingesetzt in (3) folgendes Strahlungsgesetz liefert:
U(ν, T ) = 8πν2
c 3
ε
exp(ε/kT ) − 1 . (14)
Damit dies dann dem Planckschen Strahlungsgesetz (6) gleicht, muss man eine
Annahme über die tatsächliche Größe der ”
Energiequanten“ ɛ machen, was ja
bisher noch nicht geschehen ist. Aus einem einfachen direkten Vergleich von (14)
mit (6) ergibt sich dann sofort (8). Man beachte, daß sich eine Proportionalität
von ε mit ν bereits zwingend aus der allgemein gültigen Wienschen Beziehung
(1) ergibt.
Zum Schluß sei noch eine Bemerkung über die in Formel (11) ausgedrückte
Art der Abzählung verschiedener Mikrozustände zum gleichen Makrozustand angefügt.
Dieser Formel haftet in der oben gegebenen, Planckschen Interpretation
13 Man verwendet dazu die Näherungsformel ln(N!) ≈ N ln(N) − N, die für große N gültig
ist. Nach Planck werden an dieser Stelle sowohl N als auch n als groß angenommen. Letzteres ist
tatsächlich nicht immer korrekt, was Einstein Planck später vorwirft.
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