Lösung 9

aus jenen bzgl. K hervorgehen. Dabei ist β = v/c (mit |β| < 1) und γ = (1 − β 2 ) −1/2 .
(a) Seien (ct A ,⃗x) und (ct B ,⃗x) die Koordinaten der Ereignisse A, B in K (beachte ihren
gemeinsamen Ort ⃗x). Ihre Zeiten bzgl. K ′ sind
ct ′ A = γct A − βγx 1 , ct ′ B = γct B − βγx 1 .
Die Zeitdifferenz zwischen A und B in K ′ ist also
∆t ′ = t ′ B − t ′ A = γ(t B − t A ) =
∆t
√
1 − (v/c)
2 ≥ ∆t .
(b) Im Ruhesystem K des Stabs haben seine Endpunkte die festen räumlichen Koordinaten
⃗x A = (x A , 0, 0) und ⃗x B = (x B , 0, 0) (Stab in 1-Richtung). Im longitudinal dazu
bewegten Inertialsystem K ′ seien (ct ′ , x ′ A , 0, 0) und (ct′ , x ′ B , 0, 0) die Koordinaten (bzgl.
K ′ gleichzeitig gemessen!) der Endpunkte. Die Koordinaten dieser Ereignisse in K folgen
durch Anwendung der Matrix Λ(−v⃗e 1 ). Insbesondere gilt für die 1-Koordinaten
x A = βγct ′ + γx ′ A , x B = βγct ′ + γx ′ B .
Bezeichnet L ′ die Länge im System K ′ , so gilt
L = x B − x A = γ(x ′ B − x′ A ) = γL′ ,
woraus L ′ = √ 1 − (v/c) 2 L ≤ L folgt. (Dabei spielt es keine Rolle, dass die beiden Ereignisse
in K nicht gleichzeitig sind, weil in diesem System der Stab in Ruhe ist.)
(c) Die Beziehung zwischen den Koordinaten (ct,⃗x) und (ct ′ ,⃗x ′ ) eines Ereignisses bzgl. den
beiden Inertialsystemen lautet
ct = γ(ct ′ + βx ′1 ) , x 1 = γ(x ′1 + βct ′ ) , x k = x ′k , (k = 2, 3) .
Die Messung der Lage der Endpunkte des Stabs bzgl. K ′ erfolgt dort definitionsgemäss
zur selben Zeit: ∆t ′ = 0. Deshalb ist c∆t = γβ∆x ′1 und ∆x ′2 = ∆x 2 = w∆t. Somit ist
tanθ = ∆x′ 2
∆x ′ 1 = γwv c . 2
(d) Nach einer allfälligen Rotation der Ortskoordinaten und einer Translation der Orts–
und Zeitkoordinaten, können wir annehmen, dass die Ereignisse x, y bzgl. dem System K
die Koordinaten
x µ = (0, 0, 0, 0) , y µ = (y 0 , y 1 , 0, 0)
haben. Das Minkowski–Normquadrat von ξ = x − y ist dann
(x − y, x − y) = (y 0 ) 2 − (y 1 ) 2 . (3)
Offenbar ist (ξ, ξ) > 0 (bzw. < 0), falls y 1 = 0 (bzw. y 0 = 0), d.h. falls die Ereignisse am
selben Ort (bzw. zur selben Zeit) stattfinden.
Es gilt auch die Umkehrung: in einem System K ′ das über (2) aus K hervorgeht, sind die
Koordinaten der beiden Ereignisse
(x ′ ) µ = (0, 0, 0, 0) , (y ′ ) µ = (γ(y 0 − βy 1 ), γ(y 1 − βy 0 ), 0, 0) . (4)