Lösung 9

Elektrodynamik, Musterlösung 9.
FS 08
1. Das Michelson-Morley Experiment
i) Es soll davon ausgegangen, dass Äther- und Laborsystem durch eine Galilei-Transformation
verbunden sind, da das Experiment den klassischen Raumzeitbegriff testet.
Laufzeit SS 2 S: Im Laborsystem sind die Geschwindigkeiten auf dem Hin- und Rückweg
c − v und c + v, also
( 1
t 2 = d 2
c − v + 1 ) 2d 2 1 =
c + v c 1 − v 2 /c . 2
Laufzeit SS 1 S: Im Ruhesystem des Äthers hat sich S um vt 1 verschoben und das Licht
die Strecke 2 √ d 2 1 + (vt 1 /2) 2 zurückgelegt (Pythagoras). Also 4d 2 1 + v2 1 t2 1 = c2 t 2 1 , d.h.
Es folgt
t 1 = 2d 1
c
1
√
1 − v2 /c 2 .
∆t = t 2 − t 1 = 2 ( d 2
c 1 − v 2 /c − d 1
) 2( √ = (d2 − d 2 1 ) + v2
1 − v2 /c 2 c c (d 2 2 − d 1
2 ) + O((v c )4 ) ) .
Beim rotierten Apparat ist
t ′ 2 = 2d 2
c
∆t ′ = t ′ 2 − t ′ 1 = 2 c
1
√
1 − v2 /c 2 , t′ 1 = 2d 1
c
1
1 − v 2 /c 2
(
(d2 − d 1 ) + v2
c 2 (d 2
2 − d 1) + . . . ) ,
also
∆t ′ − ∆t = − 2 v 2 (d 2
c c 2 2 + d 1) d 1 + d 2
(v) 2
= −
2 c c
Die eine Welle verschiebt sich gegenüber der anderen um
c|∆t ′ − ∆t|
λ
= d 1 + d 2
λ
(v) 2
(1)
c
in Einheiten der Wellenlänge. Das Interferenzmuster verschiebt sich um denselben Bruchteil
des Streifenabstands.
ii) Mit c ≈ 3 · 10 8 m/s ist v/c ≈ 10 −4 und (1) ist ≈ 10 −1 = 10%.
2. Anwendungen von Lorentz-Transformationen
Bei allen Teilaufgaben darf (oder muss) angenommen werden, dass die Koordinaten bzgl.
K ′ eines Ereignisses mittels eines Boosts in x 1 -Richtung
⎛
⎞
γ −βγ 0 0
Λ(v⃗e 1 ) = ⎜ −βγ γ 0 0
⎟
⎝ 0 0 1 0 ⎠ (2)
0 0 0 1

aus jenen bzgl. K hervorgehen. Dabei ist β = v/c (mit |β| < 1) und γ = (1 − β 2 ) −1/2 .
(a) Seien (ct A ,⃗x) und (ct B ,⃗x) die Koordinaten der Ereignisse A, B in K (beachte ihren
gemeinsamen Ort ⃗x). Ihre Zeiten bzgl. K ′ sind
ct ′ A = γct A − βγx 1 , ct ′ B = γct B − βγx 1 .
Die Zeitdifferenz zwischen A und B in K ′ ist also
∆t ′ = t ′ B − t ′ A = γ(t B − t A ) =
∆t
√
1 − (v/c)
2 ≥ ∆t .
(b) Im Ruhesystem K des Stabs haben seine Endpunkte die festen räumlichen Koordinaten
⃗x A = (x A , 0, 0) und ⃗x B = (x B , 0, 0) (Stab in 1-Richtung). Im longitudinal dazu
bewegten Inertialsystem K ′ seien (ct ′ , x ′ A , 0, 0) und (ct′ , x ′ B , 0, 0) die Koordinaten (bzgl.
K ′ gleichzeitig gemessen!) der Endpunkte. Die Koordinaten dieser Ereignisse in K folgen
durch Anwendung der Matrix Λ(−v⃗e 1 ). Insbesondere gilt für die 1-Koordinaten
x A = βγct ′ + γx ′ A , x B = βγct ′ + γx ′ B .
Bezeichnet L ′ die Länge im System K ′ , so gilt
L = x B − x A = γ(x ′ B − x′ A ) = γL′ ,
woraus L ′ = √ 1 − (v/c) 2 L ≤ L folgt. (Dabei spielt es keine Rolle, dass die beiden Ereignisse
in K nicht gleichzeitig sind, weil in diesem System der Stab in Ruhe ist.)
(c) Die Beziehung zwischen den Koordinaten (ct,⃗x) und (ct ′ ,⃗x ′ ) eines Ereignisses bzgl. den
beiden Inertialsystemen lautet
ct = γ(ct ′ + βx ′1 ) , x 1 = γ(x ′1 + βct ′ ) , x k = x ′k , (k = 2, 3) .
Die Messung der Lage der Endpunkte des Stabs bzgl. K ′ erfolgt dort definitionsgemäss
zur selben Zeit: ∆t ′ = 0. Deshalb ist c∆t = γβ∆x ′1 und ∆x ′2 = ∆x 2 = w∆t. Somit ist
tanθ = ∆x′ 2
∆x ′ 1 = γwv c . 2
(d) Nach einer allfälligen Rotation der Ortskoordinaten und einer Translation der Orts–
und Zeitkoordinaten, können wir annehmen, dass die Ereignisse x, y bzgl. dem System K
die Koordinaten
x µ = (0, 0, 0, 0) , y µ = (y 0 , y 1 , 0, 0)
haben. Das Minkowski–Normquadrat von ξ = x − y ist dann
(x − y, x − y) = (y 0 ) 2 − (y 1 ) 2 . (3)
Offenbar ist (ξ, ξ) > 0 (bzw. < 0), falls y 1 = 0 (bzw. y 0 = 0), d.h. falls die Ereignisse am
selben Ort (bzw. zur selben Zeit) stattfinden.
Es gilt auch die Umkehrung: in einem System K ′ das über (2) aus K hervorgeht, sind die
Koordinaten der beiden Ereignisse
(x ′ ) µ = (0, 0, 0, 0) , (y ′ ) µ = (γ(y 0 − βy 1 ), γ(y 1 − βy 0 ), 0, 0) . (4)

Falls x − y raumartig ist, so gilt gemäss (3) |y 0 |/|y 1 | < 1 und wir können β = y 0 /y 1
wählen. Die beiden Ereignisse sind dann nach (4) im neuen System gleichzeitig.
Falls hingegen x − y zeitartig ist, dann ist |y 1 |/|y 0 | < 1. Wählt man nun β = y 1 /y 0 , so
finden die beiden Ereignisse neu am selben Ort statt.
Bemerkung: Es ist praktisch, Beziehungen zwischen Inertialsystemen anhand der Lorentz-
Trsf. (2) herzuleiten. Oft ist aber dafür nur die grundlegende Invariante (ξ, ξ) = (ξ 0 ) 2 − ⃗ ξ 2
erforderlich. Z.B. für (a), s. S. 37 im Skript; für (b), wie folgt: Die Länge L des Stabs
kann ebenso bestimmt werden anhand der Zeitdifferenz T ′ zwischen den Ereignissen, die
durch das vorbeiziehen der beiden Ende an einer festen Markierung in K ′ definiert sind:
L ′ = vT ′ . So gesehen ist ∆⃗x ′ = 0, ∆t ′ = T ′ . Da die Markierung die Geschwindigkeit v
bzgl. K hat ist |∆⃗x| = v|∆t|; zudem ist |∆⃗x| = L. Nun folgt aus
c 2 (∆t) 2 − (∆⃗x) 2 = c 2 (∆t ′ ) 2 − (∆⃗x ′ ) 2 ,
dass ((c 2 /v 2 ) − 1)L 2 = c 2 T ′2 und L ′2 = (1 − v 2 /c 2 )L 2 , wie vorher.
3. Dopplerverschiebung und Aberration
(a) Mit x = (ct,⃗x) und k = (ω/c, ⃗ k) ist ϕ(x) = e ik·x , wobei · das Minkowski–Skalarprodukt
bezeichnet. Dann ist das transformierte Feld:
ϕ ′ (x ′ ) = ϕ(Λ −1 x) = e ik·(Λ−1 x ′) = e i(Λk)·x′ = e ik′·x ′
mit k ′ = Λk. Deswegen transformiert k = (ω/c, ⃗ k) unter Lorentz-Transformationen wie
ein 4er–Vektor.
(b) Der 4er–Wellenvektor des Lichts hat bzgl. K die Komponenten k = (ω/c, ω/c, 0, 0)
wegen k = ω/c. Seine Komponenten bezüglich K ′ folgen durch Anwendung der Matrix
(2). Insbesondere ist die transformierte Frequenz des Lichts
√
ω ′ 1 − v/c
= ωγ(1 − β) = ω
1 + v/c .
Bemerkung: In erster Ordnung in v/c ist ω ′ = ω(1 − v/c), was dem nicht-relativistischen
Resultat entspricht.
(c) Wir wenden nun die Lorentz–Matrix (2) auf den 4er–Vektor k = (ω/c, 0, ω/c, 0) an
und finden bzgl. K ′ :
k ′ = (γω/c, −βγω/c, ω/c, 0) .
Also:
tanα(v) = k ′1 /k ′2 v/c
= −βγ = −√ .
1 − (v/c)
2