Wasserstoffbrennen (pp-Kette) - Institut für Theoretische Astrophysik

Entstehung der chemischen Elemente
im Kosmos
H.-P. Gail
Institut für Theoretische Astrophysik, Heidelberg
WS 2011/12

3. Wasserstoffbrennen
Die Entdeckung der enormen Bindungsenergien der Kerne führte
bereits frühzeitig zu Spekulationen, daß Reaktionen zwischen den
Atomkernen die Energiequelle der Sterne sind (Eddington 1920). Ein
zunächst unlösbares Problem war jedoch, daß zur Überwindung der
Coulombabstoßung sehr hohe Temperaturen erforderlich sind, die mit
dem hydrostatischen Aufbau einer selbstgravitierenden Gaskugel unverträglich
sind. Die Entdeckung des Tunneleffekts durch Gamow im
Jahr 1928 führte Atkins und Houtermans zu der Spekulation, daß bei
den hohen Temperaturen im Sterninneren der Wasserstoff die Coulombbarriere
durchtunneln kann.
Seite: 3.1

Wasserstoffbrennen
Die Reaktionen, die nicht resonant sind, enthalten u.a. als einen wesentlichen
Faktor den Term
[
n1n2 exp
−42.48 ( Z 2 1 Z2 2/
T 6
)1
3
]
.
Wegen des großen Faktors 42.48 im Exponenten haben nur solche Prozesse
hohe Raten, für die Z1Z2 so klein wie möglich ist. Da zu Anfang
die Sterne hauptsächlich aus H und He bestehen, werden hauptsächlich
Reaktionen mit diesen Kernen von Interesse sein. Je größer die Ladung
der beteiligten Teilchen ist, um so höhere Temperaturen sind für wirksame
Brennprozesse erforderlich.
Seite: 3.2

Wasserstoffbrennen
Die Hauptschwierigkeit bei den frühen Betrachtungen bestand darin,
daß die Zweiteilchenreaktionen zwischen den häufigen Kernen zu instabilen
Kernen führen
p + p −→ 2 He −→ p + p (τ1/2 ≈ 10 −22 s)
p + 4 He −→ 5 Li −→ p + 4 He (τ1/2 =?)
4 He +
4 He −→
8 Be −→
4 He +
4 He (τ 1/2 ≈ 10 −16 s)
Deswegen muß man nach anderen Reaktionen zwischen diesen Teilchen
oder nach Reaktionen, an denen seltenere Spezies beteiligt sind, Ausschau
halten. Als wesentliche Kandidaten kommen dafür die selteneren
Isotope von H und He in Betracht, beispielsweise die Reaktion
H + D −→ 3 He + γ .
Diese Reaktion ist tatsächlich möglich und verbrennt in der protostellaren
Phase den Deuteriumgehalt des Protosterns zu 3 He, trägt aber
nichts wesentliches zur Energieproduktion des Sterns bei, und überdies
ist D beim Erreichen der Hauptreihe hierdurch bereits aufgebraucht.
Entsprechendes gilt für Li, Be, B.
Seite: 3.3

Wasserstoffbrennen
Man muß sich also nach exotischeren Reaktionen umsehen. Die Arbeiten
von C. F. von Weizsäcker (1937, 1938) und von H. A. Bethe und
C. L. Chritchfield (1937, 1938) haben gezeigt, daß zwei wesentliche Reaktionspfade
für die Umwandlung 4 H −→ 4 He existieren:
1. Die Proton-Proton Kette (Bethe)
2. Der CNO-Zyklus (v. Weizsäcker) .
Diese beiden Reaktionen speisen die Leuchtkraft der Sterne während
des größten Teils ihrer Lebensdauer.
In den frühesten Sterngenerationen, in denen praktisch nur H und He
vorhanden sind, kann nur die p-p-Kette ablaufen. In Sternen der zweiten
Generation, wenn bereits die Produkte des nuklearen Brennens der
ersten Generation vorhanden sind, kann dann auch der CNO-Zyklus
ablaufen.
Seite: 3.4

3.1 Die Proton-Proton Reaktion
Die direkte Reaktion p + p → 2 He während einer p-p-Streuung ist nicht
möglich, da das di-Proton sofort wieder in zwei Protonen zerfällt. H. Bethe
hat 1937 erkannt, daß durch die schwache Wechselwirkung während
der kurzen Zeitspanne des Streuvorgangs zwischen zwei Protonen eines
davon durch β + –Emission in ein Neutron übergehen kann. Diese Reaktion
ist an sich endotherm mit einer Reaktionsenergie von 0.782 MeV,
weil das Neutron schwerer als das Proton ist, und kann eigentlich nicht
auftreten. Die Rekombination eines Neutrons mit einem Proton zum
Deuteron setzt aber andererseits eine Energie von 2.2245 MeV frei, sodaß
ein Übergang während der p-p-Streuung zum Deuteron im Endeffekt
exotherm mit einer Energiefreisetzung von ∆E = −1.442 MeV
ist.
p
✟ ✟✟✟✟✟✟✟✯ ❄
❄
n
0.782 MeV
2.224 MeV
D
1.442 MeV
Abbildung 3.1: Energiezustände bei der pp-Reaktion
Seite: 3.5

Die Proton-Proton Reaktion
Bei dieser Reaktion wird wegen der Ladungserhaltung gleichzeitig ein
Positron freigesetzt, das die positive Ladung mitnimmt, und wegen der
Leptonenerhaltung wird gleichzeitig auch ein Neutrino emittiert. Die
Reaktionsgleichung lautet somit insgesamt
p + p −→ D + β + + ν . (89)
Die Reaktionsenergie teilen sich das β + und das ν. Diese Reaktion ist die
Starterreaktion verschiedener daran anschließender Reaktionssequenzen
unterschiedlicher Varianten der Proton-Proton Kette, die schließlich zur
Umwandlung von jeweils vier Protonen in einen He-Kern führen.
Seite: 3.6

3.2 Die Starterreaktion p + p → D
Der fundamentale Prozeß bei der Reaktion (89) ist der β + –Zerfall des
Protons während der p-p-Streuung. Bei den erlaubten β + –Zerfällen ist
der Bahndrehimpuls von β + und ν gleich null. Die Spins von β + und
ν können dabei entweder zum Singulettzustand mit Gesamtspin 0 oder
zum Triplettzustand mit Gesamtspin 1 kombinieren. Das ergibt zwei
verschiedene Möglichkeiten für den Endzustand:
⃗σν + ⃗σ β + = ⃗0 : Fermi-Übergänge (↑↓)
⃗σν + ⃗σ β + = ⃗1 : Gamow-Teller-Übergänge (↑↑) .
Bei erlaubten β–Zerfällen ändern sich weder der Bahndrehimpuls der
Nukleonen noch deren räumliche Anordnung, aber eines der Nukleonen
in der Wellenfunktion ändert sich von einem Proton in ein Neutron oder
von einem Neutron in ein Proton. Im Falle des Gamow-Teller Übergangs
muß deswegen zusätzlich eine Spinumklappung in der Wellenfunktion
der Nukleonen auftreten, weil die Spins der beiden neu auftretenden
Teilchen β + und ν zum Gesamtspin 1 kombinieren.
Seite: 3.7

Die Starterreaktion p + p → D
Der Grundzustand des Deuterons ist ein s-Zustand mit Bahndrehimpuls
null. Die Spins von n und p im Deuteron sind parallel, sodaß der
Gesamtdrehimpuls J = 1 ist. Für die Reaktion (89) bedeutet das folgendes:
ˆ Weil sich bei erlaubten β-Zerfällen der Bahndrehimpuls nicht ändert,
kann nur der s-Zustand (l = 0) bei der p-p-Streuung zum Übergang
in das Deuteron beitragen.
ˆ Da vor dem Übergang identische Fermionen vorliegen, und die Wellenfunktion
der Nukleonen symmetrisch gegen Vertauschung ist,
müssen die p-Spins wegen des Pauli-Prinzips vorher antiparallel sein,
wie in §2.3 erörtert. Nach dem Übergang sind sie aber im Deuteron
parallel.
ˆ Bei der Reaktion muß also eine Spinumklappung auftreten, die Reaktion
kann deswegen nur durch einen Gamow-Teller Übergang stattfinden.
Seite: 3.8

Die Starterreaktion p + p → D
Der Wirkungsquerschnitt der Reaktion kann mit Hilfe der Störungstheorie
berechnet werden, da der Hamiltonoperator Hβ für die schwache
Wechselwirkung klein gegenüber dem nuklearen Wechselwirkungsoperator
Hn ist. Nach Fermis goldener Regel“ gilt
”
dσ = 2π
∣ ∣ 〈f|Hβ|i〉 ∣ ∣ 2 ρ(E)
vi
. (90)
Hierin ist vi ist die Relativgeschwindigkeit und ρ(E) die Dichte der
Endzustände. Für letztere gilt
ρ(E) = d N
d E
mit der Anzahl der Endzustände von Elektron und Neutrino
dN = dNedNν =
( V 4πp
2 ) (
e
dpe V 4πp
2 )
ν
dpν
h 3 h 3
(91)
. (92)
Seite: 3.9

Die Starterreaktion p + p → D
Wenn man annimmt, daß die Neutrinomasse verschwindend klein und
die Rückstoßenergie des Deuterons vernachlässigbar ist, dann gilt
E = Eν + Ee = Ee + cpν (93)
mit kinetischer Energie der Elektronen, Ee, und Energie der Neutrinos,
Eν. Bei festgehaltenem Elektronenimpuls pe gilt pν = (E − Ee)/c und
dE = cdpν und damit
ρ(E) = 16π2 V 2
p 2
c 3 h 6 e (E − E e) 2 dpe . (94)
Das ist die Dichte der Endzustände mit Elektronenimpulsen in pe, . . . ,
pe+dpe für beliebigen Neutrinoimpuls und mit einer kinetischen Energie
der Elektronen in E, . . . , E + dE. Der Zusammenhang zwischen Impuls
pe und kinetischer Energie ist
pe = 1 c√
E e(Ee + 2mec 2 ) , (95)
mit der Ruhenergie mec 2 der Elektronen. Das hiernach resultierende
Energiespektrum berücksichtigt aber noch nicht die Korrekturen, die
aus der Coulombwechselwirkung der Teilchen resultieren.
Seite: 3.10

Die Starterreaktion p + p → D
Für das Übergangsmatrixelement gilt
∫
〈f|Hβ|i〉 = dτ [ΨDΨeΨν] ∗ HβΨi . (96)
Wegen der geringen Stärke der Wechselwirkung sind Ψe und Ψν ebene
Wellen
Ψe = √ 1 e i⃗ ke⃗r , Ψ ν = √ 1 e i⃗ ke⃗r . (97)
V V
Diese Wellenfuntionen sind folgendermaßen normiert
∫
dV ΨΨ ∗ = 1 . (98)
Die radiale Wellenfunktion des Deuterons ΨD verschwindet außerhalb
des Kernradius von ≈ 10 −13 cm sehr rasch. Die Wellenlänge des Elektrons
und des Neutrinos sind bei der mittleren Energie Ē andererseits
von der Größenordnung
λ ≈ √ h = 2 × 10 −10 cm . (99)
2mE
Seite: 3.11

Die Starterreaktion p + p → D
Dann gilt im Bereich der Ausdehnung der Wellenfunktion des Deuterons
kr = 2πr
λ ≈ 10−3 . (100)
Die Wellenfuntionen von Elektron und Neutrino können deswegen in
(96) durch
genähert werden. Es folgt
Das läßt sich als
Ψe = √ 1 (1 + i⃗ke⃗r + . . .
V
Ψν = √ 1 (1 + i ⃗ ke⃗r + . . .
V
〈f|Hβ|i〉 = 1 V
∫
)
≈ √ 1
V
)
≈ √ 1
V
dτ Ψ ∗ D H βΨi . (101)
〈f|Hβ|i〉 = g V M RaumMSpin (102)
schreiben.
Seite: 3.12

Die Starterreaktion p + p → D
Das Spin-Matrixelement MSpin ist durch die Spins der Teilchen im
Anfangs- und Endzustand festgelegt. Es gilt offensichtlich, weil man
vorher identische Teilchen hatte, und hinterher Teilchen in einem Triplettzustand
MSpin = 3 2 . (103)
Die Integration für das Matrixelement MRaum muß numerisch aus der
Wellenfunktion des Deuterons und den Coulombwellenfunktionen der
p-p-Streuung berechnet werden. Die Kopplungskonstante g für Gamow-
Teller Übergänge ist aus β–Zerfällen bekannt. Das Resultat ist ein Wirkungsquerschnitt
von
σ ≈ 10 −47 cm 2 (104)
bei einer Energie von E = 1 MeV.
Seite: 3.13

Die Starterreaktion p + p → D
Experimentell kann ein solch kleiner Wirkungsquerschnitt nicht bestimmt
werden. Beispielsweise würde bei einem Protonenstrahl von
1 mA und einem dicken Target mit 10 23 Atomen/cm 2 im Mittel alle
10 6 Jahre eine Reaktion stattfinden.
Der Wirkungsquerschnitt des ersten Schritts der Fusionsreaktionen
im Sterninneren kann deswegen ausschließlich
theoretisch berechnet werden!
Es war die Herauragende Leistung von Hans Bethe, diese Berechnung
1938 durchgeführt zu haben und damit die Energiequelle der Sterne
unzweifelhaft bestimmt zu haben.
H.A. Bethe, C.L. Critchfield (1938) The Formation of Deuterons by Proton Combination. Phys. Rev.
54, 248–254, sowie p. 862
Seite: 3.14

Die Starterreaktion p + p → D
Weil die Reaktion
p + p −→ D + β + + ν
eine nicht resonante Reaktion ist, kann die Reaktionsrate nach dem
Formalismus aus §2.4 berechnet werden mit dem Ergebnis
{
kp,p = 3.09 × 10 −37 T −2 3
6 exp
[
−33.81 T −1 3
6 ×
1 + 0.0123 T 1 3
6 + 0.0109 T 2 3
6 + 9.5 × 104 T6
]}
cm 3 s −1 . (105)
Bei T6 = 15 und ρ = 100 g cm −3 — das entspricht den Verhältnissen im
Sonnenzentrum — ist die mittlere Lebensdauer eines Protons gegenüber
der Reaktion mit einem anderen Proton zum Deuterium τ = 9 × 10 9
Jahre.
Seite: 3.15

Die Starterreaktion p + p → D
Die geringen Querschnitte der Reaktionen, die durch die schwache
Wechselwirkung ausgelöst werden, und die kleine Durchdringungswahrscheinlichkeit
der Coulombbarriere sind dafür verantwortlich, daß die
Sterne ihren nuklearen Brennstoff nur langsam verbrauchen und deswegen
für sehr lange Zeiträume existieren können.
Ohne die nuklearen Brennprozesse muß die Leuchtkraft der Sterne aus
deren Kontraktion durch die freigesetzte Gravitationsenergie gespeist
werden. Die entsprechede Zeitskala ist die Helmholtz-Kelvin Zeitskala,
die sehr viel kürzer als die entsprechende nukleare Zeitskala ist.
Seite: 3.16

3.3 Die Folgereaktionen
Die Deuteriumkerne aus der p-p-Starterreaktion können im nächsten
Schritt mit einigen der vorhandenen Teilchen im Sterninneren reagieren,
wobei aber nur solche Teilchen als Reaktionspartner in Frage kommen,
deren Kernladung niedrig ist. Konkret kommen deswegen nur folgende
Reaktionen in Betracht (Kerne mit Z = 1 oder Z = 2):
Q[MeV] S(0) keV b
D(p,γ) 3 He 5.494 2.5 × 10 −4
D(D,γ) 4 He 23.847 ≈ 5 × 10 −5
D(D,p) 3 H 4.033 39
D(D,n) 3 He 3.269 37
D( 3 He,p) 4 He 18.354 6240
D( 3 He,γ) 5 Li 16.388 ≈ 0.3
D( 4 He,γ) 6 Li 1.472 ≤ 3 × 10 −5
Die Wirkungsquerschnitte aller dieser Prozesse sind in Laborexperimenten
gemessen und daraus die Größen S(0) bestimmt worden.
Seite: 3.17

Die Folgereaktionen
Die Wirkungsquerschnitte dieser Prozesse, durch die das Deuterium
zerstört wird, sind sehr viel größer als derjenige für die Erzeugung von
Deuterium: σD... ≈ 10 −24 cm 2 gegenüber σpp ≈ 10 −45 cm 2 .
Erster Folgeschritt:
Wegen der geringen Produktionsrate des D im Vergleich zur Vernichtungsrate
in einem dieser Prozesse kann sich im Sterninneren keine
große Teilchendichte von Deuterium aufbauen. Die häufigste Reaktion
ist dann wegen der großen p-Häufigkeit die Reaktion
D(p,γ) 3 He.
Dadurch wird als Folgeprodukt der Deuteriumbildung das 3 He Isotop
produziert.
Seite: 3.18

Die Folgereaktionen
Abbildung 3.2: Direkter Einfang eines Protons durch 2 H zum 3 He. Bestimmung des
S(E)-Faktors durch Extrapolation.
Seite: 3.19

3.3.1 Die p-p-I-Kette
Die zeitliche Entwicklung der D-Häufigkeit ist dann durch die Ratengleichung
d nD
= kp,p n 2 p − k p,D npnD (106)
d t
bestimmt. Wegen der langsamen Produktion von Deuterium durch die
p-p-Reaktion kann in dieser Gleichung die Protonendichte als praktisch
zeitlich konstant betrachtet werden. Unter diesen Umständen kann sich
ein quasistationäres Gleichgewicht für die Deuteriumdichte einstellen.
Dabei stellt sich folgendes Häufigkeitsverhältnis des Deuteriums zum
Wasserstoff ein
nD,stat
= k p,p
. (107)
np kp,D
Damit läßt sich (106) in folgender Form schreiben
d nD
d t
= −kp,D np (nD − nD,stat) . (108)
Seite: 3.20

Die p-p-I-Kette
Diese Gleichung wird durch
)
nD = nD,0e −t/τ D +
(1 − e −t/τ D
nD,stat (109)
gelöst mit
τD = 1
kp,Dnp
. (110)
nD,0 ist die Anfangsdichte von D zum Zeitpunkt t = 0. τD ist die charakteristische
Einschwingzeit zur Einstellung der Gleichgewichtsdichte
(107). Sie beträgt bei T6 = 15 und ρ = 100 g cm −3 etwa 1.6 Sekunden.
In dieser kurzen Zeit stellt sich unter den Bedingungen im Sonnenzentrum
die Gleichgewichtsdichte von Deuterium ein. Es darf also ohne
weiteres angenommen werden, daß die Dichte von Deuterium gleich
der Gleichgewichtsdichte nD,stat ist. Das D/p-Dichteverhältnis beträgt
je nach Temperatur 10 −18 bis 10 −17 (vergl. Abb. 3.3). Zum Vergleich:
Im Sonnensystem hat Deuterium eine Häufigkeit von 1.5 × 10 −4 relativ
zum Wasserstoff.
Seite: 3.21

Die p-p-I-Kette
Abbildung 3.3: Gleichgewichtshäufigkeit von Deuterium relativ zu Wasserstoff in
Abhängigkeit von der Temperatur. Die Brenntemperatur eines Sterns mit 1 M⊙ auf
der Hauptreihe ist markiert.
Seite: 3.22

Die p-p-I-Kette
Zweiter Folgeschritt:
Die 3 He–Kerne können ihrerseits in einer Reihe von Reaktionen weiter
reagieren. In Frage kommen wiederum nur Reaktionen mit Kernen kleiner
Ladungszahl Z = 1 oder Z = 2:
Q[MeV] S(0) keV b
3 He(D,γ)
5 Li 16.388 ≈ 0.3
3 He(D,p)
4 He 18.354 6 240
3 He(
3 He,γ)
6 Be 18.497 ≈ 0.7
3 He(
3 He,2p)
4 He 12.860 5 500
3 He(
4 He,γ)
7 Be 1.578 0.53
Von diesen kommen nur zwei der Reaktionen wirklich in Frage:
Die Reaktion 3 He( 3 He,2p) 4 He wegen ihres großen Querschnitts, und
3 He(
4 He,γ)
7 Be wegen der großen
4 He–Häufigkeit. Unter den Bedingungen
im Sonneninneren ist das Verhältnis der Reaktionsraten
k3 He, 3 He
≈ 86
k3 He, 4 He 14 . (111)
Seite: 3.23

Die Folgereaktionen
Abbildung 3.4: Reaktion von 3 He mit 3 He. Bestimmung des S(E)-Faktors durch Extrapolation.
Seite: 3.24

Die Folgereaktionen
Abbildung 3.5: Reaktion von 3 He mit 4 He. Bestimmung des S(E)-Faktors durch Extrapolation.
Seite: 3.25

Die p-p-I-Kette
An dieser Stelle kommt es zu einer Verzweigung in der p-p–Kette. Die
Reaktion 3 He( 3 He,2p) 4 He beendet die erste der möglichen Reaktionsketten,
die sog. p-p-I–Kette, die aus den folgenden Reaktionschritten
besteht:
p + p −→ D + β + + ν, D(p,γ) 3 He,
3 He(
3 He,2p)
4 He .
Im Endeffekt werden durch diese Reaktionskette vier Protonen in einen
4 He Kern umgewandelt. Dabei werden folgende Teilbeträge der Energie
freigesetzt:
Energieerzeugung 3p → 3 He : 6.936 MeV
mittlere Neutrinoenergie Ēν : -0.263 MeV
——–
: 6.673 MeV
Energieerzeugung 3 He( 3 He,2p) 4 He : 12.860 MeV
Die gesamte Energieproduktionsrate ist deswegen (cgs-Einheiten)
ρɛ = 1.069 × 10 −5 kp,p + 12.860 × 10 −5 k3 He, 3 He . (112)
Seite: 3.26

Die p-p-I-Kette
Der größte Teil der Energieerzeugung in der p-p-I–Kette fällt bei der
Reaktion 3 He( 3 He2p), 4 He an. Da die 3 He Dichte erst langsam aufgebaut
wird, ist dieser Teil der Energieproduktionsrate zeitabhängig. Die
Ratengleichung für 3 He lautet
d n3 He
d t
Im stationären Gleichgewicht gilt
= kp,D npnD − 2k 3 He, 3 He n 2 3 He
. (113)
n3 He
np
∣ ∣∣∣eq
=
k
2
p,p
k . (114)
Damit kann (113) auf die Form
d n3 He
d t
= k 3 He, 3 He n 2 p
[ (n3He
np
) 2
eq
−
(
n3He
gebracht werden. Hierin ist np praktisch konstant.
np
) 2
]
(115)
Seite: 3.27

Die p-p-I-Kette
Diese Differentialgleichung kann durch Trennung der Veränderlichen sofort
integriert werden und ergibt mit der Anfangsbedingung
∣
n3 He ∣∣∣t=0
= 0 (116)
die Lösung
n3 He
np
= n3 He
np
np
∣ ∣∣∣eq e t τ − e − t τ
e t τ + e − t τ
= n3 He
np
∣ ∣∣∣eq
tanh t τ
(117)
mit
τ =
1
. (118)
k 3 He, 3 He n3 He,eq
Seite: 3.28

Die p-p-I-Kette
Abbildung 3.6: Einschwingzeit für die Energieproduktion in der 3 He( 3 He,2p) 4 He Reaktion.
Seite: 3.29

Die p-p-I-Kette
Abbildung 3.6 zeigt die Variation der Zeit, nach der die Teilchendichte
von 3 He 99% des Endwerts erreicht hat, mit der Temperatur. Unterhalb
von T6 = 8 wird das Gleichgewicht innerhalb eines Weltalters nicht
mehr erreicht. Bei der Sonne ist das Gleichgewicht nach etwa 580 000
Jahren erreicht, also noch während der protostellaren Entwicklung. Bei
masseärmeren Sternen kann die Entwicklungzeit bis zum Gleichgewicht
die Lebensdauer des Sterns übersteigen. Die 3 He–Häufigkeit darf also
bei Modellrechnungen nicht ohne weiteres als konstant angenommen
werden.
Seite: 3.30

3.3.2 Die p-p-II und p-p-III-Ketten
Die zweite Reaktionsmöglichkeit für 3 He ist die Reaktion
3 He(
4 He,γ)
7 Be,
die in der Sonne mit einer Häufigkeit von ca. 14% vorkommt. Der 7 Be
Kern ist instabil und wandelt sich normalerweise durch Elektroneneinfang
in 7 Li um. Mit einer kleinen, aber nicht völlig zu vernachlässigenden
Wahrscheinlichkleit kann sich der 7 Be Kern aber auch durch eine (p,γ)
Reaktion in 8 B umwandeln. Dadurch kommt es an dieser Stelle zu einer
erneuten Verzweigung:
1.) In etwa 99.8% aller Fälle kommt es zum Elektroneneinfang, wodurch
ein 7 Li Kern entsteht. Dieser hat einen sehr großen Einfangquerschnitt
für Protonen und zerfällt in der Reaktion 7 Li(p, 4 He) 4 He in zwei Heliumkerne.
Dieser Zweig der p-p–Kette wird als p-p-II–Kette bezeichnet.
2.) In etwa 0.2% aller Fälle kommt es zum Protoneneinfang, zum
8 B. Dieses ist β
+ –instabil und zerfällt mit der kurzen Halbwertszeit
τ1/2 = 0.77 s in einen angeregten 8 Be Kern, der seinerseits instabil ist
und spontan (τ1/2 ≈ 2 × 10 −16 s) in zwei 4 He Teilchen spaltet. Dieser
Zweig der p-p–Kette wird als p-p-III–Kette bezeichnet.
Seite: 3.31

Die p-p-II und p-p-III-Ketten
≈ 14%
Elektroneneinfang
(≈ 14%)
✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏✏
✏✮
❄
7 Be
Protoneneinfang
(≈ 0.02%)
7 Li
❄
+p -α
(0.77 s)
8 B
❄
8 Be
β + ν
4 He
(10 −16 s)
pp-II-Kette pp-III-Kette
Abbildung 3.7: Verzweigung der p-p-Kette
❄
2α
Seite: 3.32

Die p-p-II und p-p-III-Ketten
Im Endeffekt werden in beiden Zweigen ein 7 Be Kern und ein Proton
in zwei Heliumkerne umgewandelt. Die beiden Ketten unterscheiden
sich im Anteil der Gesamtenergie, die in Form von Neutrinos freigesetzt
wird, die den Stern verlassen und nichts zur Energiefreisetzung
im Sterninneren beitragen. Der Beitrag der p-p-III–Kette zur gesamten
Energieproduktion ist allerdings so gering, daß er keine Rolle spielt.
Diese Kette ist nur im Zusammenhang mit der Frage nach dem hochenergetischen
Teil des Neutrinospektrums von Interesse.
In der p-p-II–Kette werden durch den Elektroneneinfang Neutrinos mit
einer mittleren Energie von Ē = 0.81 MeV freigesetzt, durch die p-p-
III–Kette von Ē = 7.30 MeV. In der p-p-I-Reaktion werden bereits Neutrinos
mit einer Energie von Ē = 0.26 Mev freigesetzt. Die gesamte freigesetzte
Energie bei der Fusionsreaktion 4p → 4 He beträgt 23.73 MeV.
Daraus errechnet sich ein Anteil der Neutrinos an der Gesamtenergie
von 4% bei der p-p-II–Kette und von 28.3% bei der p-p-III–Kette.
Seite: 3.33

3.3.3 Elektroneneinfang des 7 Be
Die Einfangrate ergibt sich nach Fermis goldener Regel zu
keinf = 2π ρ(E)∣ ∣ 〈f|H β|i〉 ∣ ∣ 2 (119)
mit
ρ(E) = 4πV E2 ν
(120)
∫ c 2 h 3
〈f|Hβ|i〉 =
dτ [Ψ7 Li Ψν] ∗ HβΨ7 Be Ψe . (121)
Die radialen Wellenfunktionen von 7 Li und 7 Be verschwinden rasch außerhalb
des Kernbereichs. Deswegen gilt wieder
Ψe(⃗r) ≈ Ψe(0) , Ψν ≈ √ 1 . (122)
V
Das Wechselwirkungsmatrixelement ist dann
〈f|Hβ|i〉 = Ψ ∫
e(0)
√
V
dτ Ψ ∗ 7 Li
HβΨ7 Be = g Ψ ∫
e(0)
√
V
dτ Ψ ∗ 7 Li
Ψ7 Be
= g Ψ e(0)
√ MKern . (123)
V
Seite: 3.34

Elektroneneinfang des 7 Be
Für die Einfangrate folgt
kEC = g2 M
Kern
2
πc 2 4 E2 ν |Ψ e(0)| 2 . (124)
Für Atome gilt
|Ψe(0)| 2 ≈ 1 π
( Z
na0
) 3
, (125)
worin a0 = 0.529 Å der Bohrsche Radius und n die Hauptquantenzahl
ist. Die Beiträge der K-L-M- . . . Schalen zur Einfangrate sind dann
≈ 1 + 1 8 + 1 27 + 1 64 + . . . Seite: 3.35

Elektroneneinfang des 7 Be
In einem Stern wie der Sonne ist im Zentrum die mittlere thermische
Energie der Teilchen E ≈ kT = 1.3 keV. Die Bindungsenergie des letzten
Elektrons beim Be ist gleich 0.22 keV. Das 7 Be ist deswegen so gut
wie vollständig ionisiert, und der Elektroneneinfang erfolgt aus dem
Kontinuum. Die Einfangrate wird dadurch von der Elektronendichte ne
abhängig.
Für die Wellenfunktionen Ψe müssen bei der Berechnung durch die Coulombwechselwirkung
gestörte Wellen verwendet werden. Diese Berechnungen
können alle exakt durchgeführt werde mit dem Ergebnis
τ = k −1
EC = 4.72 × T 1 2
108 6
ρ(1 + XH) . (126)
Für den Fall der Sonne (T6 = 15, ρ = 100 g cm −3 , XH = 0.5) folgt
τEC = 140 d. Zum Vergleich: Die Lebensdauer des 7 Be im Atom beträgt
τEC = 77 d.
Zusätzlich muß ein gewisser Beitrag durch K-Einfang von nicht
vollständig ionisiertem 7 Be berücksichtigt werden. Es ergibt sich dann
kEC = 1.21 kEC,frei . (127)
Seite: 3.36

3.3.4 Protoneneinfang des 7 Be
Die Zerstörungsreaktion 7 Be(p, γ) 8 B ist im Labor gemessen worden.
Es ergab sich ein Wert S(0) = 0.024 kEv b. Daraus ergibt sich eine
mittlere Lebensdauer für den 7 Be-Kern gegenüber Protoneneinfang von
τ = 150 a. Verglichen mit der Lebensdauer gegenüber Elektroneneinfang
von τ ≈ 0.33 a bedeutet das, daß 99.8% der Reaktionen von 7 Be
über die p-p-II-Kette ablaufen und nur 0.2% über die p-p-III-Kette.
Seite: 3.37

3.4 Das Ratengleichungssystem für die p-p-Ketten
Die Gesamtheit der drei p-p-Ketten wird durch folgendes Differentialgleichungssystem
beschrieben:
d nH
d t
d nD
d t
d n3 He
d t
d n4 He
d t
d n7 Be
d t
d n7 Li
d t
= −2kp,pn 2 H − k p,DnHnD + 2k3 He, 3 He n 2 3 He
−k p, 7 Be nHn7 Be − k p, 7 Li nHn7 Li (128)
= kp,p n 2 H − k p,DnHnD (129)
= kp,DnHnD − k3 He, 3 He n 2 3 He
− k3 He, 4 He n3 He n4 He (130)
= k 2 3 He, 3 He
n 3 3 He
+ k3 He, 4 He n3 He n4 He + 2k p, 7 Be nHn7 Be
+2k p, 7 Li nHn7 Li (131)
= k3 He, 4 He n3 He n4 He − k e, 7 Be nen7 Be − k p, 7 Be nHn7 Be (132)
= k e, 7 Be nen7 Be − k p, 7 Be nHn7 Be . (133)
Seite: 3.38

Das Ratengleichungssystem für die p-p-Ketten
Diese Gleichungen müssen bei der Berechnung von Modellen der Sternentwicklung
zusammen mit den Gleichungen für den Aufbau und die
Entwicklung der Sterne gelöst werden, da einige Prozesse erhebliche
Zeit zur Entwicklung in einen quasistationären Zustand benötigen. Die
einzige wirklich zulässige Vereinfachung ist die Annahme, daß die Teilchendichte
von nD im Gleichgewicht ist.
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Das Ratengleichungssystem für die p-p-Ketten
Die Ratenkoeffizienten k dieser Reaktionen und sehr vieler anderer Reaktionen
von astrophysikalischem Interesse sind in einigen Datensammlungen
zusammengetragen worden. An erster Stelle sind hier die folgenden
Referenzen zu nennen, die für Jahrzehnte die Quellen der bei
Modellrechnungen verwendeten Werte der k’s waren und vielfach noch
immer sind:
Das grundlegende paper mit detaillierter Beschreibung, wie Reaktionsraten zu bestimmen sind:
W.A. Fowler, G.R. Caughlan, B.A. Zimmerman (1967) Thermonuclear Reaction Rates. Ann. Rev.
Astronomy & Astropysics 5, 525–570.
Wesentliche Erweiterung und verbesserte Darstellung der Raten für numerische Rechnungen:
W.A. Fowler, G.R. Caughlan, B.A. Zimmerman (1975) Thermonuclear Reaction Rates II. Ann. Rev.
Astronomy & Astropysics 5, 525–570.
Wesentliche Erweiterung und neue experimentelle Daten:
G.R. Caughlan, W.A. Fowler (1983) Thermonuclear Reaction Rates III. Ann. Rev. Astronomy & Astropysics
21, 165–176.
Nochmalige Aktualisierung:
G.R. Caughlan, W.A. Fowler (1988) Thermonuclear Reaction Rates V. Atomic Data and Nuclear Data
Tables 40, 283
Aktualisierte Daten für pp-Kette und CHNO-Zyklus:
E.G. Adelberger & 47 Koautoren (2010) Solar fusion cross sections II: the pp chain and CNO cycles
aArXiv:1004.2318v3
Seite: 3.40

Das Ratengleichungssystem für die p-p-Ketten
Die Gleichungen für die Isotope in der pp-Kette müssen bei der Berechnung
von Modellen der Sternentwicklung zusammen mit den Gleichungen
für den Aufbau und die Entwicklung der Sterne gelöst werden,
da einige Prozesse erhebliche Zeit zur Entwicklung in einen quasistationären
Zustand benötigen. Die einzige wirklich zulässige Vereinfachung
ist die Annahme, daß die Teilchendichte von nD im Gleichgewicht ist.
Eine numerische Lösung des Ratengleichungssystems (128) bis (133)
mit Ratenkoeffiziente für die einzelnen Reaktionen aus den Tabellen
von G.R. Caughlan und W.A. Fowler (1988) ist in Abb. 3.8 gezeigt.
Als Anfangsbedingungen für die Die Isotope von H und He wurden die
Häufigkeiten der solaren Elementmischung (= Pop I) gewählt. Für alle
anderen Isotope wurde die Anfangshäufigkeit auf null gesetzt. Man erkennt
die unterschiedlich schnelle Reaktion der Isotope D, 3 He in der
pp-Hauptkette und der Isotope 7 Li, 7 Be und 8 B in den pp-Nebenketten
zu einem Gleichgewichtszustand. Als erstes wir D zu 3 He verbrannt,
wesentlich langsamer entwicklen sich die Isotope von Li, Be, B. Die 3 He
Häufigkeit entwickelt sich auf wesentlich längerer Zeitskala.
Seite: 3.41

Das Ratengleichungssystem für die p-p-Ketten
Abbildung 3.8: Entwicklung der Kerne in der pp-Kette bei einer Brenntemperatur
von 13 × 10 6 K. Für H, D, 3 He und 4 He sind als Anfangsbedingung die Häufigkeiten
der solaren Elementmischung gesetzt. Die Häufigkeiten der anderen Isotope wurden
auf null gesetzt.
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