3. Zusätzliche Übung - uni-stuttgart

Institut für Systemtheorie und Regelungstechnik Uni Stuttgart
Prof. Dr.-Ing. F. Allgöwer
26.11.2007
Regelungstechnik I
rb
http://www.ist.uni-stuttgart.de/education/courses/RTI/
Zusätzliche Übungen 3
A1) Die Abbildungen 1(a) bis 1(d) zeigen jeweils Phasendiagramme von linearen Systemen
der Form
[ ]
x1
ẋ = Ax, x = . (1)
x 2
Welche der Abbildungen gehören zu stabilen Systemen? Begründen Sie Ihre Antwort.
A2) Schreiben Sie folgende Systeme in Zustandsraumdarstellung:
a) ÿ + 6ẏ + 8y = u,
b) ... y + 4ÿ + 6ẏ + 4y = u,
c) ÿ + ω 2 sin(y) = u.
1
1
0.5
0.5
x2
0
x2
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−0.5
0
x 1
0.5
1
−1
−1
−0.5
0
x 1
0.5
1
(a)
(b)
1
1
0.5
0.5
x2
0
x2
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−0.5
0
x 1
0.5
1
−1
−1
−0.5
0
x 1
0.5
1
(c)
(d)
Figure 1: Phasendiagramme.

A3) ⋆ Für die Transformation eines linearen, zeitinvarianten Systems u ↦→ y mit Eingang u
und Ausgang y in den Zustandraum wird die Beziehung u ↦→ y ⇒ ˙u ↦→ ẏ verwendet.
a) Beweisen Sie diese Beziehung unter der Annahme, dass das System durch eine
Differentialgleichung beschrieben wird.
b) Zeigen Sie, dass diese Beziehung für jedes lineare, zeitinvariante System gilt.
A4) Schreiben Sie folgende Systeme in Zustandsraumdarstellung:
a) ÿ + 6ẏ + 8y = ˙u,
b) ÿ + 6ẏ + 8y = 2 ˙u + u.
Verwenden Sie dabei die Beziehung aus Aufgabe 3.
A5) Gegeben sei das nichtlineare Zustandsraummodell einer Regelstrecke 1
ẋ 1 = (2u + x 1 )(2 + x 4 2 ),
ẋ 2 = (x 1 − 2x 2 )(3 + x 3 1 ),
y = e x 1+2 + 2(1 + x 2 ).
a) Berechnen Sie die Ruhelagen der Regelstrecke in Abhängigkeit von u.
b) Linearisieren Sie den geschlossenen Kreis um die Ruhelage, die sich für u = u S = 1
ergibt.
1 Siehe auch Übungsaufgaben Regelungstechnik I, Aufgabe 11