3. Zusätzliche Ãbung - uni-stuttgart
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Institut für Systemtheorie und Regelungstechnik Uni Stuttgart<br />
Prof. Dr.-Ing. F. Allgöwer<br />
26.11.2007<br />
Regelungstechnik I<br />
rb<br />
http://www.ist.<strong>uni</strong>-<strong>stuttgart</strong>.de/education/courses/RTI/<br />
Zusätzliche Übungen 3<br />
A1) Die Abbildungen 1(a) bis 1(d) zeigen jeweils Phasendiagramme von linearen Systemen<br />
der Form<br />
[ ]<br />
x1<br />
ẋ = Ax, x = . (1)<br />
x 2<br />
Welche der Abbildungen gehören zu stabilen Systemen? Begründen Sie Ihre Antwort.<br />
A2) Schreiben Sie folgende Systeme in Zustandsraumdarstellung:<br />
a) ÿ + 6ẏ + 8y = u,<br />
b) ... y + 4ÿ + 6ẏ + 4y = u,<br />
c) ÿ + ω 2 sin(y) = u.<br />
1<br />
1<br />
0.5<br />
0.5<br />
x2<br />
0<br />
x2<br />
0<br />
−0.5<br />
−0.5<br />
−1<br />
−1<br />
−0.5<br />
0<br />
x 1<br />
0.5<br />
1<br />
−1<br />
−1<br />
−0.5<br />
0<br />
x 1<br />
0.5<br />
1<br />
(a)<br />
(b)<br />
1<br />
1<br />
0.5<br />
0.5<br />
x2<br />
0<br />
x2<br />
0<br />
−0.5<br />
−0.5<br />
−1<br />
−1<br />
−0.5<br />
0<br />
x 1<br />
0.5<br />
1<br />
−1<br />
−1<br />
−0.5<br />
0<br />
x 1<br />
0.5<br />
1<br />
(c)<br />
(d)<br />
Figure 1: Phasendiagramme.
A3) ⋆ Für die Transformation eines linearen, zeitinvarianten Systems u ↦→ y mit Eingang u<br />
und Ausgang y in den Zustandraum wird die Beziehung u ↦→ y ⇒ ˙u ↦→ ẏ verwendet.<br />
a) Beweisen Sie diese Beziehung unter der Annahme, dass das System durch eine<br />
Differentialgleichung beschrieben wird.<br />
b) Zeigen Sie, dass diese Beziehung für jedes lineare, zeitinvariante System gilt.<br />
A4) Schreiben Sie folgende Systeme in Zustandsraumdarstellung:<br />
a) ÿ + 6ẏ + 8y = ˙u,<br />
b) ÿ + 6ẏ + 8y = 2 ˙u + u.<br />
Verwenden Sie dabei die Beziehung aus Aufgabe <strong>3.</strong><br />
A5) Gegeben sei das nichtlineare Zustandsraummodell einer Regelstrecke 1<br />
ẋ 1 = (2u + x 1 )(2 + x 4 2 ),<br />
ẋ 2 = (x 1 − 2x 2 )(3 + x 3 1 ),<br />
y = e x 1+2 + 2(1 + x 2 ).<br />
a) Berechnen Sie die Ruhelagen der Regelstrecke in Abhängigkeit von u.<br />
b) Linearisieren Sie den geschlossenen Kreis um die Ruhelage, die sich für u = u S = 1<br />
ergibt.<br />
1 Siehe auch Übungsaufgaben Regelungstechnik I, Aufgabe 11