Technische Grundlagen der Informatik 12. Musterlösung ...

Prof. Dr.-Ing. Sorin A. Huss
Technische Grundlagen der Informatik
12. Musterlösung – Zahlendarstellung
Wintersemester 2010/11
Aufgabe 1 Dezimal nach Binär
Wandeln Sie folgende Zahlen in Binärdarstellung um:
a) 55 10 = 110111 2
b) 42 10 = 101010 2
c) 127 10 = 1111111 2
d) 73951 10 = 10010000011011111 2
Aufgabe 2 Dezimal nach Hexadezimal
Wandeln Sie folgende Zahlen in Hexadezimaldarstellung um:
a) 224 10 = E0 16
b) 69 10 = 45 16
c) 171 10 = AB 16
d) 57005 10 = DEAD 16
Aufgabe 3 Zahlenbereiche
Aufgabe 3.1
Welches ist die größte Zahl, die sich mit 5 Bit (vorzeichenlose Darstellung) darstellen lässt?
Die größte Zahl berechnet sich aus 2 AnzahlBits − 1, in unserem Fall 2 5 − 1 = 31.
Aufgabe 3.2
Wie viele verschiedene Zahlen lassen sich mit 32 Bit darstellen?
2 AnzahlBits , in unserem Fall 2 32 = 4294967296.
Aufgabe 3.3
Welches ist die größte Zahl, die sich mit 5 Bit (2-Komplement-Darstellung) darstellen lässt?
Die größte darstellbare Zahl berechnet sich aus 2 AnzahlBits−1 − 1, in unserem Fall 2 5−1 − 1 = 15.
Aufgabe 3.4
Welches ist die kleinste Zahl, die sich mit 5 Bit (2-Komplement-Darstellung) darstellen lässt?
Die kleinste darstellbare Zahl berechnet sich aus −(2 AnzahlBits−1 ), in unserem Fall −(2 5−1 ) = −16.
Aufgabe 3.5
In UNIX Systemen wird - aus historischen Gründen - die Zeit in Sekunden seit dem 1. Januar 1970, 0 Uhr gezählt. In
welchem Jahr gibt es Probleme mit 32-Bit-Maschinen, wenn die Zahl vorzeichenlos gespeichert ist?
Mit 32 Bit können 2 32 = 4294967296 Sekunden gezählt werden. Dies entspricht 4294967296/(60 ∗ 60 ∗ 24 ∗ 365) = 136
Jahren, somit gibt es im Jahr 2106 Probleme.
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Aufgabe 4 2-Komplement-Zahlen
Wandeln Sie die folgenden Dezimalzahlen in 2-Komplement-Darstellung um. Jede Zahl soll ein Byte groß sein.
a) 9 10 = 00001001
b) −42 10 = 11010110
c) 127 10 = 01111111
d) −128 10 = 10000000
Aufgabe 5 BCD
Um eine Zahl als BCD (Binary Coded Decimal)-Zahl darzustellen, wird jede dezimale Ziffer (0 bis 9) durch jeweils 4 Bit
binär dargestellt.
Wandeln Sie die folgenden Dezimalzahlen in BCD um:
a) 9 10 = 1001
b) 42 10 = 0100 0010
c) 524 10 = 0101 0010 0100
Aufgabe 6 Zahlendarstellung II
Vervollständigen Sie die Tabelle.
Dezimal Binär Hexadezimal
12 10 1100 2 C 16
85 10 1010101 2 55 16
3529 10 110111001001 2 DC9 16
Aufgabe 7 Addition von Binärzahlen
Addieren Sie die folgenden Binärzahlen, die vorzeichenlose Zahlen darstellen. Geben Sie auch die dezimalen Werte an.
Tritt ein Overflow auf?
1 0 1 1 (11) 1 0 0 1 1 (19)
+ 0 0 0 1 ( 1) + 1 0 1 0 0 (20)
1 1 0 0 (12) 1 0 0 1 1 1 (39)
kein Overflow Overflow
Aufgabe 8 : Addition von 2-Komplement-Zahlen
Addieren Sie die folgenden 2-Komplement-Zahlen. Geben Sie auch die dezimalen Werte an. Tritt ein Overflow auf?
0 0 1 0 1 0 1 0 (42) 0 1 0 0 0 0 1 1 (67)
+ 1 0 0 0 0 0 0 0 (-128) + 0 1 0 0 0 1 0 0 (68)
1 0 1 0 1 0 1 0 (-86) 1 0 0 0 0 1 1 1 (-121)
kein Overflow
Overflow
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Aufgabe 9 Subtraktion von 2-Komplement-Zahlen
Wandeln Sie die folgenden Dezimalzahlen in 2-Komplement-Zahlen der Größe 1 Byte um und subtrahieren sie voneinander.
Ist das Ergebnis korrekt?
a) 10 10 − 63 10
b) −50 10 − 80 10
Lösung:
a) 1. Schritt: Umrechnung in 2-K-Zahlen:
10 Binär
⇒ 00001010
63 Binär
⇒ 00111111
2. Schritt: Addition
00001010
+11000001
11001011
Komplement bildung
⇒ 11000001
3. Schritt: Kontrolle: Zahl ist negativ:
11001011
Komplement bildung
⇒
00110101 Dezimal
⇒
b) 1. Schritt: Umrechnung in 2-K-Zahlen:
50 Binär
Komplement bildung
⇒ 00110010 ⇒ 11001110
80 Binär
Komplement bildung
⇒ 01010000 ⇒ 10110000
2. Schritt: Addition
11001110
+10110000
101111110
53 : Ergebnis korrekt
3. Schritt: Kontrolle: Es tritt ein Overflow auf: Ergebnis nicht korrekt (Das korrekte Ergebnis -130 ist nicht mit
8 Bit darstellbar).
Aufgabe 10 : Größer oder Kleiner?
Welche der folgenden Zahlen ist größer? Rechnen Sie die Zahlen zuerst ins Dezimalsystem um. (Alle Zahlen sind vorzeichenlos).
a) 1111 2 oder F 16 ⇒ 15 10 oder 15 10 , beide Zahlen sind also gleich
b) 10101 2 oder AC 16 ⇒ 21 10 oder 172 10 , die erste Zahl ist kleiner
c) 10010101 2 oder 8C 16 ⇒ 149 10 oder 140 10 , die erste Zahl ist größer
Aufgabe 11 Festkommazahlen
Stellen Sie folgende Zahlen im 4,4 Festkommaformat dar.
• 12,625
11001010
• 7,8125
01111101
• 13,94
11011111, nicht genau darstellbar
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Aufgabe 12 Umwandlung in Gleitkommazahlen
Stellen Sie die folgenden Zahlen im IEEE 754 Gleitkommaformat dar.
• -0,75
Zuerst wird die Zahl in eine Binärdarstellung umgewandelt. Es ergibt sich 0,11. Im IEEE 754 Format wird jede
Zahl normalisiert dargestellt, d.h. sie muss so lange verschoben werden, bis genau eine 1 vor dem Komma steht.
Durch Rechtsshift der Mantisse wird der Exponent größer, durch Linksshift kleiner. In diesem Fall muss um eine
Stelle nach links geschoben werden, um 1,1 zu erhalten. Der Exponent beträgt -1. Nun werden die Werte in das
Gleitkommaformat umgewandelt. Das erste Bit gibt das Vorzeichen an, es ist 1 da die Zahl negativ ist. Die nächsten
8 Bit geben den Exponenten an, er muss noch um den Bias von 127 erhöht werden und ergibt sich somit zu 126,
was binär 01111110 entspricht. Die komplette Zahl lautet damit 1 01111110 10000000000000000000000, in
Hexadezimalschreibweise BF400000.
• 99,7
In Binärdarstellung ergibt sich 1100011,10110011001100110... Die Zahl kann nicht genau dargestellt werden da
für die Mantisse nur 23 Bits zur Verfügung stehen, es bleibt ein Rest übrig. Zur Normalisierung muss um 6 Stellen
nach rechts geschoben werden. Der Exponent beträgt 6+127=133, was binär 10000101 entspricht. Die komplette
Zahl lautet damit 0 10000101 10001110110011001100110, in Hexadezimalschreibweise 42C76666.
Aufgabe 13 Gleitkommazahlen 2
Geben Sie eine Formel an, mit der eine gegebene Gleitkommazahl im IEEE 754-Format in die wissenschaftliche Darstellung
umgewandelt werden kann.
(−1) Vorzeichen ⋆ (1 + M antisse) ⋆ 2 E x ponent−127
Aufgabe 14 Gleitkommaaddition
Addieren Sie die beiden hexadezimal im IEEE 754 gegebenen Gleitkommazahlen X = 4AF20000 und Y = 4A618000.
Zuerst werden die beiden Zahlen in Binärdarstellung umgewandelt und in Vorzeichen, Exponent und Mantisse zerlegt:
X = 0 10010101 11100100000000000000000
Y = 0 10010100 11000011000000000000000
Die implizite 1 vor den Mantissen darf nicht vergessen werden:
1,11100100000000000000000
1,11000011000000000000000
Da die Exponenten unterschiedlich groß sind, muss die Mantisse der Zahl mit dem kleineren Exponenten (Y) um
genauso viele Schritte nach rechts geshiftet werden, wie sich die Exponenten unterscheiden. Hier muss also auf den
Exponenten von Y 1 addiert werden, und entsprechend muss die Mantisse von Y um 1 nach rechts geshiftet werden:
0,111000011000000000000000
Die so entstandene Mantisse muss nun mit der der anderen Zahl addiert werden:
1,11100100000000000000000
0,11100001100000000000000
10,11000101100000000000000
Das Ergebnis muss wiederum so geshiftet werden, dass nur eine 1 vor dem Komma steht (hier: um 1 nach rechts
shiften). Dabei muss natürlich der Exponent des Ergebnisses angepasst werden (hier: 1 auf den vorherigen gemeinsamen
Exponenten addieren). Der neue Exponent ist also 10010101 + 1 = 10010110 Die Mantisse des Ergebnisses ist
01100010110000000000000 (1 vor dem Komma fällt weg).
Das Gesamtergebnis der Addition ist also: 0 10010110 01100010110000000000000, was hexadezimal 4B316000 entspricht.
Aufgabe 15 Wertebereich von Gleitkommazahlen
Welche Auswirkungen hat die Änderung der Bitanzahl von Exponent und Mantisse?
Mehr Bits für die Mantisse ergibt eine größere Genauigkeit der darstellbaren Zahlen.
Mehr Bits für den Exponenten ergibt eine Vergrößerung des Wertebereichs.
4 Alexander Biedermann biedermann@iss.tu-darmstadt.de · Marc Stöttinger stoettinger@iss.tu-darmstadt.de · (0 61 51) 16-70470