Technische Grundlagen der Informatik â Kapitel 8

Technische Grundlagen 

der Informatik – Kapitel 8 

Prof. Dr. Sorin A. Huss 

Fachbereich Informatik 

TU Darmstadt

Kapitel 8: Themen 

• Zahlensysteme 

- Dezimal 

- Binär 

• Vorzeichen und Betrag 

• Zweierkomplement 

• Zahlen mit Bruchanteilen 

- Festkomma 

- Gleitkomma 

- Rundung 

- Addition 

WS 10/11 | Technische Grundlagen der Informatik - Kapitel 8 - Prof. Sorin A. Huss | 2

1000's column 

8's column 

10's column 

100's column 

2's column 

4's column 

1's column 

1's column 

Zahlensysteme 

• Dezimalzahlen 

5374 10 

= 

• Binärzahlen 

1101 2 

= 


1000's column 

8's column 

10's column 

100's column 

2's column 

4's column 

1's column 

1's column 

Zahlensysteme 

• Dezimalzahlen 

5374 10 

= 5 × 10 3 + 3 × 10 2 + 7 × 10 1 + 4 × 10 0 

• Binärzahlen 

five 

thousands 

three 

hundreds 

seven 

tens 

four 

ones 

1101 2 

= 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 13 10 

one 

eight 

one 

four 

no 

two 

WS 10/11 | Technische Grundlagen der Informatik - Kapitel 8 - Prof. Sorin A. Huss | 4 

one 

one

Zweierpotenzen 

• 2 0 = 

• 2 1 = 

• 2 2 = 

• 2 3 = 

• 2 4 = 

• 2 5 = 

• 2 6 = 

• 2 7 = 

• 2 8 = 

• 2 9 = 

• 2 10 = 

• 2 11 = 

• 2 12 = 

• 2 13 = 

• 2 14 = 

• 2 15 = 


Zweierpotenzen 

• 2 0 = 1 

• 2 1 = 2 

• 2 2 = 4 

• 2 3 = 8 

• 2 4 = 16 

• 2 5 = 32 

• 2 6 = 64 

• 2 7 = 128 

• 2 8 = 256 

• 2 9 = 512 

• 2 10 = 1024 

• 2 11 = 2048 

• 2 12 = 4096 

• 2 13 = 8192 

• 2 14 = 16384 

• 2 15 = 32768 

• Sehr nützlich, wenigstens die ersten 10 im Kopf zu haben 


Zahlenkonvertierung 

• Binär nach dezimal umrechnen: 

• Wandele 10011 2 ins Dezimalsystem um 

• Dezimal nach binär umrechnen 

• Wandele 47 10 ins Binärsystem um 


Zahlenkonvertierung 

• Binär nach dezimal umrechnen: 

• Wandele 10011 2 ins Dezimalsystem um 

• 16×1 + 8×0 + 4×0 + 2×1 + 1×1 = 19 10 

• Dezimal nach binär umrechnen 

• Wandele 47 10 ins Binärsystem um 

• 32×1 + 16×0 + 8×1 + 4×1 + 2×1 + 1×1 = 101111 2 

• Auf zwei Arten möglich: 

• Jeweils nach größter noch passender Zweierpotenz suchen 

• Durch immer größer werdende Zweierpotenzen dividieren 


Binärzahlen und Wertebereiche 

• N-stellige Dezimalzahl 

• Wie viele verschiedene Werte? 10 N 

• Wertebereich? [0, 10 N - 1] 

• Beispiel: 3-stellige Dezimalzahl: 

• 10 3 = 1000 mögliche Werte 

• Wertebereich: [0, 999] 

• N-bit Binärzahl 

• Wie viele verschiedene Werte? 2 N 

• Wertebereich : [0, 2 N - 1] 

• Beispiel : 3-bit Binärzahl 

• 2 3 = 8 mögliche Werte 

• Wertebereich : [0, 7] = [000 2 , 111 2 ] 


Hexadezimale Zahlen 

Hex-Ziffer Entspricht Dezimal Entspricht Binär 

0 0 

1 1 

2 2 

3 3 

4 4 

5 5 

6 6 

7 7 

8 8 

9 9 

A 10 

B 11 

C 12 

D 13 

E 14 

F 15 


Hexadezimale Zahlen 

Hex-Ziffer Entspricht Dezimal Entspricht Binär 

0 0 0000 

1 1 0001 

2 2 0010 

3 3 0011 

4 4 0100 

5 5 0101 

6 6 0110 

7 7 0111 

8 8 1000 

9 9 1001 

A 10 1010 

B 11 1011 

C 12 1100 

D 13 1101 

E 14 1110 

F 15 1111 


Hexadezimalzahlen 

• Schreibweise zur Basis 16 

• Kürzere Darstellung für lange Binärzahlen 


Umwandeln von Hexadezimaldarstellung 

• Umwandeln von hexadezimal nach binär: 

• Wandele 4AF 16 (auch geschrieben als 0x4AF) nach binär 

• Umwandeln von hexadezimal nach dezimal: 

• Wandele 0x4AF nach dezimal 


Umwandeln von Hexadezimaldarstellung 

• Umwandeln von hexadezimal nach binär: 

• Wandele 4AF 16 (auch geschrieben als 0x4AF) nach binär 

• 0100 1010 1111 2 

• Umwandeln von hexadezimal nach dezimal: 

• Wandele 0x4AF nach dezimal 

• 16 2 ×4 + 16 1 ×10 + 16 0 ×15 = 1199 10 

14 

WS 10/11 | Technische Grundlagen der Informatik - Kapitel 8 - Prof. Sorin A. Huss |

Bits, Bytes, Nibbles… 

• Bits (Einheit b) 

• Höchstwertiges Bit (msb) 

• Niedrigstwertiges Bit (lsb) 

• Bytes (Einheit B) & Nibbles 

• Bytes 

• Höchstwertiges Byte (MSB) 

• Niedrigstwertiges Byte (LSB) 

10010110 

most 

significant 

bit 

byte 

10010110 

nibble 

CEBF9AD7 

most 

significant 

byte 

least 

significant 

bit 

least 

significant 

byte 


Zweierpotenzen und Präfixe 

• 2 10 = 1 Kilo (K) ≈ 1000 (1024) 

• 2 20 = 1 Mega (M) ≈ 1 Million (1,048,576) 

• 2 30 = 1 Giga (G) ≈ 1 Milliarde (1,073,741,824) 

• Beispiele 

• 4 GB: Maximal adressierbare Speichergröße für 32b-Prozessoren 

• 16M x 32b: erste GDDR5-Speicherchips für Grafikkarten 

• Vorsicht Falle: 

• Deutsch 10 9 = 1 Milliarde 

• US English 10 9 = 1 billion 


Zweierpotenzen schnell schätzen 

• Was ist der Wert von 2 24 ? 

• Wie viele verschiedene Werte kann eine 32b Variable annehmen? 


Zweierpotenzen schnell schätzen 

• Was ist der Wert von 2 24 ? 

2 4 × 2 20 ≈ 16 Millionen 

• Wie viele verschiedene Werte kann eine 32b Variable annehmen? 

2 2 × 2 30 ≈ 4 Milliarden 


Addition 

• Dezimal 

• Binär 

+ 

11 

3734 

5168 

8902 

carries Überträge 

+ 

11 carries Überträge 

1011 

0011 

1110 


Beispiele für Addition von Binärzahlen 

• Addiere die 4-bit Binärzahlen 

+ 

1001 

0101 


+ 

1011 

0110 


Beispiele für Addition von Binärzahlen 



+ 

1 

1001 

0101 

1110 


111 

1011 

+ 0110 

10001 

Überlauf!

Überlauf 

• Digitale Systeme arbeiten mit einer festen Anzahl an Bits 

• In der Regel, es gibt aber durchaus Ausnahmen! 

• Eine Addition läuft über, wenn ihr Ergebnis nicht mehr in die 

verfügbare Anzahl von Bits hineinpasst 

• Beispiel: 11+6, gerechnet mit 4b Breite 


Vorzeichenbehaftete Binärzahlen 

• Darstellung als Vorzeichen und Betrag 



Darstellung als Vorzeichen und Betrag 

• 1 Vorzeichenbit, N-1 Bits für Betrag 

• Vorzeichenbit ist höchstwertiges Bit (msb) 

• Positive Zahl: Vorzeichenbit = 0 

• Negative Zahl: Vorzeichenbit = 1 

 

A: a , a , a , a , a 

A 

 

N1 N2 2 1 0 

n2 

 

an1 

( 1) a 2 

i0 

i 

i 

 

• Beispiel: 4-bit Vorzeichen/Betrag-Darstellung von ± 6: 

+6 = 

- 6 = 

• Wertebereich einer Zahl in Vorzeichen/Betrag-Darstellung : 


Darstellung als Vorzeichen und Betrag 

• 1 Vorzeichenbit, N-1 Bits für Betrag 

• Vorzeichenbit ist höchstwertiges Bit (msb) 

• Positive Zahl: Vorzeichenbit = 0 

• Negative Zahl: Vorzeichenbit = 1 

 

A: a , a , a , a , a 

A 

 

N1 N2 2 1 0 

n2 

 

an1 

( 1) a 2 

i0 

i 

i 

 

• Beispiel: 4-bit Vorzeichen/Betrag-Darstellung von ± 6: 

+6 = 0110 

- 6 = 1110 

• Wertebereich einer Zahl in Vorzeichen/Betrag-Darstellung : 

[-(2 N-1 -1), 2 N-1 -1] 


Darstellung als Vorzeichen/Betrag: Probleme 

• Addition schlägt fehl 

• Beispiel: -6 + 6: 

1110 

+ 0110 

10100 (falsch!) 

• Zwei Darstellungen für Null (± 0): 

1000 (-0) 

0000 (+0) 


Zahlendarstellung im Zweierkomplement 

• Behebt Probleme der Vorzeichen/Betrag-Darstellung 

• Addition liefert wieder korrekte Ergebnisse 

• Nur eine Darstellung für Null 



• Wie vorzeichenlose Binärdarstellung, aber … 

• msb hat nun einen Wert von -2 N-1 

n2 

 

n1 

i 

A an 

1 

2 ai2 

i0 

• Größte positive 4b Zahl : 

• Kleinste negative 4b Zahl : 

• msb gibt immer noch das Vorzeichen an 

• 1=negativ, 0=positiv 

• Wertebereich einer N-bit Zweierkomplementzahl: 



• Wie vorzeichenlose Binärdarstellung, aber … 

• msb hat nun einen Wert von -2 N-1 

n2 

 

n1 

i 

A an 

1 

2 ai2 

i0 

• Größte positive 4b Zahl : 0111 = 2 2 + 2 1 + 2 0 = 7 

• Kleinste negative 4b Zahl : 1000 = -2 3 = -8 

• msb gibt immer noch das Vorzeichen an 

• 1=negativ, 0=positiv 

• Wertebereich einer N-bit Zweierkomplementzahl: 

[-(2 N-1 ), 2 N-1 -1] 


Darstellung im Zweierkomplement 

• Annahme: Umzuwandelnde Zahlen liegen im Wertebereich 

• N bit breites Zweierkomplement 

• Stelle Wert k im Zweierkomplement z dar 

• Positive Zahlen k >= 0 

• Normale Binärdarstellung, restliche Bits bis einschließlich msb mit 0 auffüllen 

• Beispiel: N = 5b, k = 3 10 z=00011 

• Negative Zahlen k < 0 

• msb auf 1 setzen, Wert soweit ist nun -2 N-1 

• Nun muss aufaddiert werden, bis gewünschter Zielwert k erreicht 

• Differenz d = 2 N-1 + k, diese binär in untere Bits eintragen (Beginn bei lsb) 

• Beispiel: N = 5b, k = -3 10 d = 2 4 -3 = 16-3 = 13 z = 11101 


Zweierkomplement arithmetisch bilden 

• In beide Richtungen anwendbar 

• Vorzeichenwechsel: k -k 

• Algorithmus 

1. Alle Bits invertieren (01, 10) 

2. Dann 1 addieren 

• Beispiel: Vorzeichenwechsel von 3 10 = 00011 2 

• Beispiel: Vorzeichenwechsel von -3 10 = 11101 2 


Zweierkomplement arithmetisch bilden 

• In beide Richtungen anwendbar 

• Vorzeichenwechsel: k -k 

• Algorithmus 

1. Alle Bits invertieren (01, 10) 

2. Dann 1 addieren 

• Beispiel: Vorzeichenwechsel von 3 10 = 00011 2 

1. 11100 2 , 2. 11101 2 = - 3 10 

• Beispiel: Vorzeichenwechsel von -3 10 = 11101 2 

1. 00010 2 , 2. 00011 2 = 3 10 

32 


Weitere Beispiele Zweierkomplement 

• Bestimme Zweierkomplement von 6 10 = 0110 2 

• Was ist der Dezimalwert der Zweierkomplementzahl 1001 2 ? 


Weitere Beispiele Zweierkomplement 

• Bestimme Zweierkomplement von 6 10 = 0110 2 

1. 1001 

2. + 1 

1010 2 = -6 10 

• Was ist der Dezimalwert der Zweierkomplementzahl 1001 2 ? 

1. 0110 

2. + 1 

0111 2 = 7 10 , msb war vorher 1 also negativ: 1001 2 = -7 10 


Addition im Zweierkomplement 

• Addiere 6 + (-6) 

+ 

0110 

1010 

• Addiere -2 + 3 

+ 

1110 

0011 


Addition im Zweierkomplement 

• Addiere 6 + (-6) 

• Addiere -2 + 3 

+ 

+ 

111 

0110 

1010 

10000 

111 

1110 

0011 

10001 


Überlauf: 

Ignorieren, wenn 

Positive und negative 

Zahlen gleicher 

Bitbreite addiert 

werden

Erweitern von Zahlen auf höhere Bitbreite 

• Verknüpfen von Zahlen unterschiedlicher Bitbreite? 

• Anzahl Bits N der schmaleren Zahl erhöhen auf Breite M der 

anderen Zahl 

• Zwei Möglichkeiten 

• Auffüllen mit führenden Nullen (zero extension) 

• Auffüllen mit dem bisherigen Vorzeichen (sign extension) 


Erweitern durch Auffüllen mit Vorzeichenbit 

• Vorzeichenbit nach links kopieren bis gewünschte Breite erreicht 

• Zahlenwert bleibt unverändert 

• Auch bei negativen Zahlen! 

• Beispiel 1: 

• 4-bit Darstellung von 3 = 0011 

• 8-bit aufgefüllt durch Vorzeichen: 00000011 


• 4-bit Darstellung von -5 = 1011 

• 8-bit aufgefüllt durch Vorzeichen : 11111011 


Erweitern durch Auffüllen mit Nullbits 

• Nullen nach links anhängen bis gewünschte Breite erreicht 

• Zerstört Wert von negativen Zahlen 

• Positive Zahlen bleiben unverändert 


• 4-bit Wert = 0011 2 = 3 10 

• 8-bit durch Auffüllen mit Nullbits: 00000011 = 3 10 


• 4-bit Wert = 1011 = -5 10 

• 8-bit durch Auffüllen mit Nullbits : 00001011 = 11 10 , falsch! 


Vergleich der Zahlensysteme 

Zahlensystem 

Wertebereich 

Vorzeichenlos [0, 2 N -1] 

Vorzeichen/Betrag [-(2 N-1 -1), 2 N-1 -1] 

Zweierkomplement [-2 N-1 , 2 N-1 -1] 

Beispiel 4-bit breite Darstellung: 

-8 

1000 1001 

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 

1111 

Vorzeichenlos 

Unsigned 

1010 1011 1100 1101 1110 1111 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 Two's Complement 

1110 

1101 

1100 

1011 

1010 

1001 

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 

1000 

Zweierkomplement 

Sign/Magnitude 

Vorzeichen/Betrag 


Zahlensysteme 

• Bisher kennengelernt 

• Positive Zahlen 

• Vorzeichenlose Binärdarstellung 

• Negative Zahlen 


• Darstellung als Vorzeichen/Betrag 

• Wo bleiben Brüche? 

• Rationale Zahlen? 

• Reelle Zahlen? 


Zahlen mit Bruchanteilen 

• Zwei gängige Darstellungen: 

• Festkomma (fixed-point): 

Position des Kommas bleibt konstant 

Beispiel: Dezimalsystem, 2 Vorkomma-, 3 Nachkommastellen 

2,000 99,999 0,000 -2,718 nicht: 3,1415 365,250 

• Gleitkomma (floating-point) 

Position des Kommas kann wandern, ist stets rechts der höchstwertigen 

Stelle 0. Angabe der Position des Kommas in Exponentenschreibweise 

Beispiel: Dezimalsystem, insgesamt 5 Stellen 

2*10 0 9,9999*10 1 0*10 0 -2,718*10 0 3,1415*10 0 3,6525*10 2 5*10 6 

nicht: 3,14159*10 0 

Auch: Obergrenze für Exponenten, keine beliebig großen Zahlen darstellbar 


Binäre Festkommazahlen 

• Darstellung von 6,75 mit 4b für ganzen Anteil und 4b für Binärbruch: 

01101100 

0110 ,1100 

2 2 + 2 1 + 2 -1 + 2 -2 = 6,75 

• Binärkomma wird nicht explizit dargestellt 

• Position wird durch Format impliziert (hier: 4,4) 

• Alle Leser und Schreiber von Festkommadaten müssen dasselbe 

Format verwenden 



•Beispiel: Stelle 7.5 10 in 8b im 4,4- 

Festkommaformat dar 



• Beispiel: Stelle 7.5 10 in 8b im 4,4-Festkommaformat dar 

01111000 


Vorzeichenbehaftete Festkommazahlen 

• Wie bei ganzen Zahlen: Zwei Darstellungen möglich 

• Vorzeichen/Betrag 


• Stelle -7.5 10 in 8b als 4,4-Festkommazahl dar 

• Vorzeichen/Betrag: 

• Zweierkomplement: 








11111000 









11111000 


1. +7.5: 01111000 

2. Invertieren: 10000111 

3. Addiere 1 zu lsb: + 1 

10001000 


Binäre Gleitkommazahlen 

• Binärkomma liegt immer genau rechts von höchstwertiger 1 

• Ähnlich zur wissenschaftlichen Darstellung von Dezimalbrüchen 

• Beispiel: 4.387.263 in wissenschaftlicher Darstellung 

4,387263 × 10 6 

• Allgemeine Schreibweise: 

± M × B E 

wobei 

• M = Mantisse 

• B = Basis 

• E = Exponent 

• Im Beispiel: M = 4,387263 , B = 10, and E = 6 


Binäre Gleitkommazahlen 

1 Bit 8 Bits 23 Bits 

Vorzeichen Exponent Mantisse 

• Beispiel: Stelle den Wert 228 10 als 32b-Gleitkommazahl dar 

• Im folgenden drei Versionen, nur die letzte davon ist eine Standarddarstellung! 

• IEEE 754, single precision format 


Binäre Gleitkommadarstellung: 1. Versuch 

• Wandele Dezimalzahl in Binärdarstellung um: 

• 228 10 = 11100100 2 = 1,11001 × 2 7 

• Trage nun Daten in die Felder des 32b Wortes ein: 

• Vorzeichenbit ist positiv (0) 

• Die 8b des Exponenten stellen den Wert 7 dar 

• Die verbliebenen 23 Bit stellen die Mantisse dar 


0 00000111 111 0010 0000 0000 0000 0000 

Vorzeichen 

Exponent 

Mantisse 



• Beobachtung: Das erste Bit der Mantisse ist so immer 1 

• 228 10 = 11100100 2 = 1,11001 × 2 7 

• Man kann sich das explizit Abspeichern der führenden 1 sparen 

• Die führende 1 wird implizit immer als präsent angenommen 

• Stattdessen: Speichere nur den Bruchanteil (die “Nachkommastellen”) 

explizit ab 


0 00000111 110 0100 0000 0000 0000 0000 

Vorzeichen 

Exponent 

Bruchanteil 



• Exponent kann auch negativ sein 

• Idee: Zweierkomplement. Wäre möglich, hat aber praktische Nachteile 

• Besser: Exponent relativ zu konstantem Grundwert (Exzess, Biaswert) angeben 

• Hier: Biaswert = 127 (01111111 2 ) 

• Exponent mit Bias = Biaswert + Exponent 

• Exponent 7 wird also gespeichert als: 

127 + 7 = 134 = 0x10000110 2 

• Damit IEEE 754 32-bit Gleitkommadarstellung von 228 10 


0 10000110 

Vorz. Exponent 

mit Bias 


110 0100 0000 0000 0000 0000 

Bruchanteil

Beispiel IEEE 754 Gleitkommadarstellung 

• Stelle -58.25 10 gemäß dem IEEE 754 32-bit Gleitkommastandard dar 




• 1. Wandele in Binärdarstellung um: 

• 58,25 10 = 

• 2. Trage Felder des 32b Gleitkommawortes ein: 

• Vorzeichen: 

• 8 Bits für Exponent: 

• 23 Bits für Bruchanteil: 


Vorz. Exponent Bruchanteil 

• In Hexadezimalschreibweise: 




• 1. Wandele in Binärdarstellung um: 

• 58,25 10 = 111010,01 2 = 1.1101001 × 2 5 

• 2. Trage Felder des 32b Gleitkommawortes ein: 

• Vorzeichen: 1 (negativ) 

• 8 Bits für Exponent: (127 + 5) = 132 = 10000100 2 

• 23 Bits für Bruchanteil: 110 1001 0000 0000 0000 0000 


1 100 0010 0 110 1001 0000 0000 0000 0000 


• In Hexadezimalschreibweise: 0xC2690000 


IEEE 754 Gleitkommadarstellung: Sonderfälle 

• Nicht alle benötigten Werte nach dem Schema darstellbar 

• Beispiel: 0, hat keine führende 1 

Wert Vorz. Exponent Bruchanteil 

0 X 00000000 00000000000000000000000 

∞ 0 11111111 00000000000000000000000 

- ∞ 1 11111111 00000000000000000000000 

NaN X 11111111 Ein Wert 0 

NaN steht für “Not a Number” und stellt häufig Rechenfehler dar 

Beispiele: √-1 oder log(-5). 


Genauigkeit der Gleitkommadarstellungen 

• Einfache Genauigkeit (single-precision): 

• 32-bit Darstellung 

• 1 Vorzeichenbit, 8 Exponentenbits, 23 Bits für Bruchanteil 

• Exponentenbias = 127 

• Doppelte Genauigkeit (double-precision): 

• 64-bit Darstellung 

• 1 Vorzeichenbit, 11 Exponentenbits, 52 Bits für Bruchanteil 

• Exponentenbias = 1023 


Rundungsmodi für Gleitkommazahlen 

• Overflow: 

• Underflow: 

Betrag der Zahl ist zu groß, um korrekt dargestellt zu werden 

Zahl ist zu nah bei 0, um korrekt dargestellt zu werden 

• Rundungsmodi: 

• Abrunden zu minus Unendlich 

• Aufrunden zu plus Unendlich 

• Hin zu Null 

• Hin zu nächster darstellbarer Zahl 

• Beispiel: Runde 1,100101 (1,578125 10 ) auf 3 Bits Bruchanteil 

• Ab: 1,100 

• Auf: 1,101 

• Zu Null: 1,100 

• Zu nächster: 1,101 (1,625 liegt näher an 1,578125 als an 1,5) 


Addition von Gleitkommazahlen 

mit gleichem Vorzeichen 

1. Exponenten- und Bruchanteilfelder aus Gleitkommawort extrahieren 

2. Bruchanteil um führende 1 erweitern, um Mantisse zu bilden 

3. Vergleiche Exponenten 

4. Schiebe Mantisse von Zahl mit kleinerem Exponenten nach rechts 

(bis Exponenten gleich sind) 

5. Addiere Mantissen 

6. Normalisiere Mantisse und passe Exponent an, falls nötig 

7. Runde Ergebnis entsprechend dem gewählten Rundungsmodus 

8. Baue Gleitkommawort aus Exponenten und Bruchanteil des 

Ergebnisses 


Beispiel: Addition von Gleitkommazahlen 

Addiere die beiden Gleitkommazahlen 

0x3FC00000 

0x40500000 



1. Extrahiere Exponenten und Bruchanteile aus 32b Worten 


0 01111111 100 0000 0000 0000 0000 0000 



0 10000000 101 0000 0000 0000 0000 0000 


S E F 

1. Zahl (N1): S1 = 0, E1 = 127 (= × 2 0 ), F1 = ,1 

2. Zahl (N2): S2 = 0, E2 = 128 (= × 2 1 ), F2 = ,101 

2. Erweitere Bruchanteile um führende 1, um Mantissen zu bilden 

M1: 1,1 

M2: 1,101 



3. Vergleiche Exponenten 

E2 – E1 = 128 – 127 = 1, N1 muss also um ein Bit geschoben werden 

4. Mantisse von Zahl mit kleinerem Exponenten entsprechend nach rechts 

schieben 

schiebe M1: 1,1 >> 1 = 0,11 (× 2 1 ) 

5. Mantissen addieren (haben jetzt den gleichen Exponenten) 

0,11 × 2 1 

+ 1,101 × 2 1 

10,011 × 2 1 63 



6. Normalisiere Mantisse und passe Exponenten an, falls nötig 

10,011 × 2 1 = 1,0011 × 2 2 

7. Runde Ergebnis entsprechend Rundungsmodus 

Hier nicht nötig (passt in 23b) 

8. Baue neues Gleitkommawort für Ergebnis aus Exponent und Mantisse 

S = 0, E = 2 + 127 = 129 = 10000001 2 , F = 001100.. 


0 10000001 001 1000 0000 0000 0000 0000 


In Hexadezimalschreibweise: 0x40980000

Technische Grundlagen der Informatik â Kapitel 8

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?

Technische Grundlagen der Informatik â Kapitel 8