Formelsammlung - bei der ISME

Formelsammlung für den Modullehrgang
1) Zahlenbereiche
Eintrittsprüfung
Natürliche Zahlen = positive Zahlen N = { 1,2, 3, …}
Ganze Zahlen =
Z = { 0, ± 1, ± 2, ± 3, …}
Positive und negative Zahlen, sowie Null
Rationale Zahlen =
Bruchzahlen
Reelle Zahlen =
Bruchzahlen und Zahlen, die sich nicht
durch Brüche darstellen lassen (irrationale
Zahlen)
2) Griechisches Alphabet
⎧p ⎫
Q = ⎨ p,q ∈Z
und q ≠ 0 ⎬
⎩q
⎭
R = "vollständige" Zahlengerade
3) Logische Symbole
≤ kleiner gleich
≥ größer gleich
≈ ungefähr
∧ und
∨
∩ geschnitten ∪
< kleiner
> größer
oder
vereinigt
5 ∈ A 5 ist Element von A
7 ∉ A 7 ist kein Element von A
C = D C gleich D,
C und D enthalten gleiche Elemente
E ⊆ F E ist eine Teilmenge von F;
aus x ∈ E folgt
x ∈ F
E ⊄ F E ist keine Teilmenge von F;
aus x ∈ E fo lgt
x ∈ F
1

Formelsammlung für den Modullehrgang
4) Potenz- und Wurzelgesetze
Definitionen
0
= ⋅ ⋅ ⋅ ∈ N a = 1 mit a ≠ 0
a 1 = a
n
a a a … a mit n
n−Faktoren
Rechengesetze
(1)
(2)
a
m n m+
n
⋅ a = a
Multiplikation bei gleicher Basis
n n
n
⋅ b = ( a ⋅b
Multiplikation bei gleichem Exponenten
a )
m
a m−n
(3) = a mit a ≠ 0
n
a
n
a ⎛ a ⎞
(4) = ⎜ ⎟ mit b ≠ 0
n
b ⎝ b ⎠
n
Division bei gleicher Basis
Division bei gleichem Exponenten
m m⋅n
(5) ( )
a
n
= a
Potenzieren
−n
1 ⎛ 1 ⎞
(6) a = = ⎜ ⎟ mit a ≠ 0
n
a ⎝ a ⎠
−n
⎛ 1 ⎞ 1 n
(7) ⎜ ⎟ = = a mit a ≠ 0
−n
⎝ a ⎠ a
−n
⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞
(8) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ mit a, b ≠ 0
⎝ b ⎠ ⎝ a ⎠
n
n
Potenzen mit negativem Exponenten
Potenzen mit negativem Exponenten
Potenzen mit negativem Exponenten
Wurzeln (a, b ≥ 0)
(1)
(2)
(3)
m
n m
a
n
a mit a 0,m ,n
n n n
= ≥ ∈Z ∈ N (4) a ⋅ b = a ⋅b mit n ∈ N
1
− 1
n
a mit a 0, n
n
a
n
n
n m
= ≠ ∈ N (5) ( ) q
a a
n mit b 0, n
n mq
a a mit n,q N, m
= ∈ ∈Z
b = b
≠ ∈ N (6) n p m np m
a = a mit n, p ∈ N,m
∈Z
5) Satz von Pythagoras
2 2
a + b =
c
2
2

Formelsammlung für den Modullehrgang
6) Binomische Formeln
2 2
( a + b) ⋅ ( a − b)
= a − b
2
( a ± b)
2
2
= a ± 2ab
+ b
3
( a ± b) 3 2
2
= a ± 3a
b + 3ab
3
± b
7) Quadratische Gleichung
ax
2
Vieta :
ax
2
+ bx + c = 0
x
1
+ x
2
+ bx + c = a ⋅
= −
b
a
⇒
( x − x ) ⋅ ( x − x )
1
x ⋅ x
1
2
x
2
1,2
=
− b ±
=
c
a
2
b − 4ac
2a
8) Funktionen
a.) Lineare Funktionen
y = mx + q
∆y
m = … Steigung
∆x
b.) Quadratische Funktionen
2
y = ax + bx + c
Scheitelpunktformel:
2 2 2
2 ⎛ b ⎞ b ⎛ b 4ac − b ⎞
y = ax + bx + c = a ⋅ ⎜ x + ⎟ + c − S ⎜ − | ⎟
⎝ 2a ⎠ 4a ⎝ 2a 4a ⎠
3

Formelsammlung für den Modullehrgang
9) Ebene Figuren
A…Flächeninhalt
u… Umfang
a.) Dreieck
b.) Viereck
4

Formelsammlung für den Modullehrgang
c.) Kreis
10) Körper
5

Formelsammlung für den Modullehrgang
6

Formelsammlung für den Modullehrgang
Algebra und Arithmetik
Folgen und Reihen
Allgemein gilt:
(1) n ∈ N
(2) a
1…1. Folgenglied
Teilsummenfolge
a
n
… n-tes Folgenglied
s = a + a + a + … + a = ∑a
n 1 2 3 n k
k=
1
n
Arithmetische Folge
Graph
Konstante Differenz d = a
n+
1
− a
n
a = a + n −1 ⋅ d
Explizite Darstellung ( )
n 1
Rekursive Darstellung a n 1
a + n
d
Summenformel
n
n ⋅( n −1)
⋅d
sn = ⋅ ( a1 + a
n ) = a1
⋅ n +
2 2
Geometrische Folge
Allgemein: q ≠ 1,q ≠ 0
Graph
a
Konstanter Quotient q =
a
Explizite Darstellung
n+
1
n
a = a ⋅ q −
n 1
n 1
Rekursive Darstellung a = n 1
a ⋅
+ n
q
Summenformel
7

Formelsammlung für den Modullehrgang
endlich
unendlich
n
n
1−
q q −1
n
=
1
⋅ =
1
⋅
s a a
1−
q q −1
1
s = a ⋅ ∞ 1
q 1
1−
q
<
Fibonacci-Folge
a = a + a mit a = 1,a = 1
n+ 2 n n+
1 1 2
Exponential- und Logarithmusfunktionen
Allgemeine Exponentialfunktion
Natürliche Exponentialfunktion
x
y = a a > 1, x ∈ R
Logarithmusfunktion ( )
x
y e e…
Eulersche Zahl, x
= ∈ R
y = log x x > 0, a > 1
a
Basen
Logarithmus
x = log b ⇔ a = b
(1) Allgemeiner Logarithmus ( )
x
(2) Dekadischer Logarithmus ( ) ( )
x
a
x = log b = lg b ⇔ 10 = b
(3) Natürlicher Logarithmus ( ) ( )
x
10
x = log b = ln b ⇔ e = b
(4) Binärer Logarithmus ( ) ( )
x
Basiswechsel log ( x)
Logarithmengesetze p,q > 0
e
x = log c = lb c ⇔ 2 = c
b
2
( )
( )
lg x
=
lg b
( ) = ( ) + ( )
log pq log p log q
a a a
⎛ p ⎞
loga ⎜ ⎟ = loga p − loga
q
⎝ q ⎠
n
log p = n ⋅ log p
a
( ) a ( )
( ) ( )
1
n
( ) = ⋅
a ( )
loga
p log p
n
8

Formelsammlung für den Modullehrgang
1. Allgemeine Bezeichnungen
∠ ABC… Winkel mit dem Scheitel B
____
AB…
Strecke von A nach B
Geometrie
Winkelbeschriftung mit griechischen Buchstaben (siehe Formelsammlung Eintrittsprüfung)
2. Winkel
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Formelsammlung für den Modullehrgang
3. Winkelmaße
Grad: 1° = 60 ′ (Minuten) = 3600 ′′ (Sekunden) bzw.
180⋅b
α = b…
Bogenmass
π
π = 180°
π⋅α
Radiant: b = 180 °
4. Einheitskreis und Winkelfunktionen
G
sin ( x)
=
H
A
cos ( x)
=
H
sin x G
tan ( x)
= =
cos x A
( )
( )
G…
Gegenkathete
A…
Ankathete
H…
Hypotenuse
5. Trigonometrische Grundbeziehungen
„Trigonometrischer Pythagoras“
2
cos ²( α ) + sin ( α ) = 1
Komplementär- und Supplemetärwinkelsätze ( )
( )
sin(90 ° − ϕ ) = sin 90° + ϕ = cos( ϕ)
cos(180 ° + ϕ ) = cos 180° − ϕ = −cos( ϕ)
( )
( )
cos(90 ° − ϕ ) = sin(180 ° − ϕ ) = sin ϕ
cos(90 ° + ϕ ) = sin(180 ° + ϕ ) = −sin
ϕ
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Formelsammlung für den Modullehrgang
6. Spezielle Winkel: Höhen- und Tiefenwinkel
Horizontalebene
7. Rechtwinkliges Dreieck
Bezeichnungen im rechtwinkligen
Dreieck
Satz von Pythagoras
2 2 2
c = a + b
8. Allgemeines Dreieck
Winkelsumme 180°
Sinus-Satz
a b c
= = = 2R
sin α sin β sin γ
( ) ( ) ( )
R…
Umkreisradius
2 2 2
a = b + c − 2⋅ b⋅c⋅cos
α
Cosinus-Satz ( )
2 2 2
b = a + c − 2⋅a ⋅c⋅cos( β)
2 2 2
c = a + b − 2⋅a ⋅ b⋅cos( γ)
Flächenberechnung
Allgemein
Formel von Heron
( ) ( ) ( )
a ⋅b ⋅sin γ b ⋅c⋅sin α a ⋅c⋅sin
β
A = = = =
2 2 2
a ⋅b ⋅c
( ) ( ) ( )
4⋅R
R…
Umkreisradius
a + b + c
A = s⋅( s − a) ⋅( s − b) ⋅( s − c)
wobei s =
2
2
= 2⋅ R ⋅sin α ⋅sin β ⋅sin
γ =
11

Formelsammlung für den Modullehrgang
Inkreisradius
A
r =
s
( ) ( ) ( )
s − a ⋅ s − b ⋅ s − c a + b + c
r = mit s =
s 2
Kongruenz und Ähnlichkeit
Kongruenzsätze
Strahlensätze
SSS - Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis der drei Seitenlängen
überein, dann sind sie ähnlich zueinander.
SWS – Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis der Längen zweier
Seiten und dem von ihnen eingeschlossene Winkel überein, dann sind
sie ähnlich.
Ssw – Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis zweier Seitenlängen und
in dem der grösseren Seite gegenüberliegenden Winkel überein, dann
sind sie ähnlich.
WSW – Stimmen zwei Dreiecke in zwei Winkeln überein, dann sind
sie ähnlich zueinander.
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Formelsammlung für den Modullehrgang
Wahrscheinlichkeit
n ∈ N, k ∈ N , k ≤ n
Kombinatorik
Fakultät n! = 1⋅2⋅3⋅…
⋅ n 0! = 1 1! = 1
Binomialkoeffizient ⎛ n ⎞ n! n ⋅ n −1 ⋅…
⋅ n − k + 1
⎜ ⎟ = =
⎝ k ⎠ k! ⋅( n − k )! 1⋅2⋅…
⋅k
( ) ( )
Anzahl der geordneten Stichprobe mit Zurücklegen (Variation mit Wiederholung):
k
n
Anzahl der geordneten Stichprobe ohne Zurücklegen (Variation ohne Wiederholung):
n!
n ( n 1) ( n k 1)
n k ! = ⋅ − ⋅ …
−
⋅ − +
( )
Anzahl der ungeordneten Stichproben ohne Zurücklegen (Kombination ohne Wiederholung):
⎛ n ⎞
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
Anzahl der möglichen Anordnungen von n verschiedenen Elementen (Permutation ohne
Wiederholung)
n!
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ω…
Ereignisraum
ω,E…
Ereignis
E…
Gegenereignis
n…
Anzahl der Versuche
fw
… Absolute Häufigkeit
h … Relative Häufigkeit
w
A ∪ B…
A oder B
A ∩ B…
A und B
( )
P E
…
Wahrscheinlichkeit von E
Relative Häufigkeit
Gleichwahrscheinlichkeit
Gegenwahrscheinlichkeit P( E) = 1−
P( E)
fw
h
w
=
n
g Anzahl der günstigen Fälle
P( E)
= =
m Anzahl der möglichen Fälle
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Formelsammlung für den Modullehrgang
Additionssätze ( ∪ ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )
( ∪ ) = ( ) + ( )
P E F P E P F P E F vereinbare Ereignisse
P E F P E P F unvereinbare Ereignisse
Bernoulli – Experiment
Ziehen mit Zurücklegen
Hypergeometrische
Verteilung
Ziehen ohne Zurücklegen
und → Multiplikation
oder → Addition
n…
Gesamtumfang der Stichprobe
k…
Anzahl der Erfolg e
p…
Wahrscheinlichkeit für Erfolg
q = 1−
p…
Wahrscheinlichkeit für Misserfolg
⎛ n ⎞
Pn
k P "Genau k Erfo lg e in n Versuchen" ⎜ ⎟ p q
⎝ k ⎠
N…
Gesamtumfang der Stichprobe
1
2
k n−k
( ) = ( ) = ⋅ ⋅
n…
Kleine Stichprobe aus dem Gesamtumfang
T … 1.Teilmenge
T … 2.Teilmenge
T + T = N
1 2
k…
Anzahl der Erfo lg e aus T
P
n
( k)
⎛T1 ⎞ ⎛ T2
⎞
⎜ ⎟⋅⎜ ⎟
k n − k
=
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ N ⎞
⎜ ⎟
⎝ n ⎠
1
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