vertiefte Aufgabe zur Schrödingergleichung

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f) Es bleibt die Amplitude A in den Lösungen der Teilaufgabe c) zu ermitteln. Hierzu nutzt man die Tatsache, dass sich das Elektron mit der Wahrscheinlichkeit 1 im Potentialtopf befinden muss, d. h. es muss z. B. für n = 1 die Gleichung ∫ ( ( )) gelten. Erläutern Sie, warum der Integrand das Quadrat der Wellenfunktion beinhaltet.
Lösung: a) Im Innenbereich hat man das Potential V(x) = 0. Setzt man dies in die allgemeine Schrödingergleichung ein, so erhält man sofort (2). b) Im Außenbereich gilt . Daher kann man für in diesem Bereich keine sinnvolle Schrödingergleichung mehr angeben. Da das Teilchen unendlich viel Energie brauchen würde, um vom Innenbereich in den Außenbereich zu gelangen, ist seine Aufenthaltswahrscheinlichkeit dort null. c) Y(x) = Asin(kx) Y'(x) = Akcos(kx) Y''(x) = -Ak 2 sin(kx) Einsetzen in die Schrödingergleichung liefert: 2 h 2 2 8 ( Ak m 2 h k 2 8 m 2 2 sin(kx )) EA sin(kx ) 0 E 0 V(x) 8 mE k 2 h (Anmerkung: Die negative Lösung für k führt zu keinen neuen Wellenfunktionen, wie man in Aufgabe d) schnell nachvollziehen kann, und wird daher der Vereinfachung halber weggelassen.) Damit gilt für die Wellenfunktion 2 8 m E Asin( x ) für 0 x l ( x ) 2 h für sonst 0 8 mE d) ( 0) 0 A sin( 0) 0 (immer erfüllt) 2 h 2 2 8 mE 8 mE ( l) 0 A sin( l) 0 l n 2 2 h h h 2 Umformen nach E liefert: En n 2 8ml 2 h Asin( x ) für 0 x l e) n 1: E1 ( x ) 2 1 l 8ml für sonst 0 2 h 2 2 Asin( x ) für 0 x l n 2 : E2 2 ( x ) 2 2 l 8ml für sonst 0 2 h 2 3 Asin( x ) für 0 x l n 3 : E3 3 ( x ) 2 3 l 8ml für sonst 0 2 2 ( n N , da die linke Seite positiv ist).
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