Aufgabe Quantenzahlen

Link-Ebene Physik
Lehrplananbindung: 12.2 Atommodell der Quantenphysik, Ausblick auf
Mehrelektronensysteme
Kompetenzen: Neben den Fachkenntnissen liegt der Schwerpunkt bei
Erkenntnisgewinnung
Kommunikation
Bewertung
Fachmethoden wiedergeben
Mit vorgegebenen
Darstellungsformen
arbeiten
Vorgegebene Bewertungen
nachvollziehen
Fachmethoden nutzen
Geeignete
Darstellungsformen nutzen
Vorgegebene Bewertungen
beurteilen und kommentieren
Fachmethoden problembezogen
auswählen u. anwenden
Darstellungsformen selbständig
auswählen u. nutzen
Eigene Bewertungen vornehmen
Quantenzahlen und das Periodensystem der Elemente
a) Geben Sie die vier Quantenzahlen an, die den Zustand eines in einem Atom gebundenen
Elektrons beschreiben, und erörtern Sie, inwiefern diese vier Quantenzahlen im Zusammenhang
mit dem Pauliprinzip eine wichtige Rolle bei der Besetzung der einzelnen Zustände im
Atom spielen.
b) Zeigen Sie mit Hilfe eines Baumdiagramms, dass maximal 2 Elektronen den Zustand
n = 1, maximal 8 Elektronen den Zustand n = 2 und maximal 18 Elektronen den Zustand
n = 3 besetzen können.
c) In der Chemie spricht man vom sogenannten „Schalenaufbau“ der Atomhülle. Recherchieren
Sie, welche Anzahl an Elektronen die 1., 2. und 3. Schale aufnehmen kann, und vergleichen
Sie die Daten mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe b. Erklären Sie, wie sich die
Modellvorstellung von „Atomschalen“ rechtfertigen lässt.
d) Ein Atom befindet sich im Grundzustand, wenn seine Z Elektronen genau die Z niedrigsten
Energiezustände einnehmen. Erläutern Sie, wie es hierbei möglich ist, dass Elektronen z. B.
die vierte Schale besetzen, obwohl die dritte noch nicht voll besetzt ist. Finden Sie hierzu ein
Beispiel im Periodensystem.
e) Heute weiß man, dass sich die Elektronen mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit in einem
bestimmten Raumbereich aufhalten. Definieren Sie in diesem Zusammenhang den Begriff des
Orbitals.
f) Geben Sie für n, l, m, s alle möglichen Quantenzahlen an, die zu folgenden Zuständen
passen: 2s, 3p, 4d, 3d 1 . Erklären Sie, ob es 2d-Zustände gibt.

Lösung:
a) n (Hauptquantenzahl), l (Nebenquantenzahl bzw. Bahndrehimpulsquantenzahl), m
(Magnetquantenzahl), s (Spinquantenzahl)
Das Pauli Prinzip besagt, dass zwei Elektronen in einem Atom nicht in all ihren
Quantenzahlen übereinstimmen dürfen. Dies muss bei der Besetzung der einzelnen Zustände
berücksichtigt werden.
b)
magnetische
Quantenzahl
Hauptquantenzahl
Nebenquantenzahl
Spinquantenzahl
s = 0,5
n = 0 l = 0 m = 0 2 Elektronen
s = - 0,5 insgesamt
s = 0,5
l = 0 m = 0
n = 1 s = - 0,5
l = 1 m = -1
m = 0
m = 1
s = 0,5
s = - 0,5
s = 0,5
s = - 0,5
s = 0,5
s = - 0,5
8 Elektronen
insgesamt
Eine entsprechende Baumstruktur für n = 3 führt auf eine Besetzung mit 18 Elektronen.
c) Die erste Schale kann genau 2, die zweite Schale genau 8 und die dritte Schale genau 18
Elektronen aufnehmen. Damit gehört zu jeder Schale genau eine Hauptquantenzahl n.
Je größer die Hauptquantenzahl n eines Elektrons, desto größer seine Energie. Daher wird es
sich im Mittel weiter entfernt vom Atomkern aufhalten als ein Elektron mit niedrigerem n. Dies
rechtfertigt den Begriff der Atomschale.
d) Die Hauptquantenzahl n legt in erster Linie ein Energieniveau fest. Bei genauerer Betrachtung
gilt es allerdings zu berücksichtigen: Mit den verschiedenen möglichen Werten der
Nebenquantenzahl l (l = 0, 1, 2, … n-1) bei gegebener Hauptquantenzahl n geht eine
Aufspaltung des Energieniveaus zur Hauptquantenzahl n einher.
Daher kann es sein, dass z. B. die zwei Plätze des 4s-Zustands (n = 4, l = 0) energetisch
günstiger sind als die zehn Plätze des 3d-Zustands (n = 3, l = 2). Dies ist in der Tat der Fall.
Bei Kalium und Calcium werden zuerst die Plätze des 4s-Zustands besetzt, während die 10
Plätze des 3d-Zustands noch leer bleiben. Erst bei den Elementen Sc, Ti, V, Cr, Mn, Fe, Co,
Ni, Cu, Zn werden nach und nach die 3d-Zustände gefüllt (Ausnahmen: Cr und Cu).
e) Hinweis: Ein Orbital ist durch die drei Quantenzahlen n, l und m festgelegt, siehe Lehrbuch
f) 2s:
1
n 2,l 0,m 0,s
2
3p: n 3; l 1;
1
m - 1,0,1; s
2
4d: n 4; l 2;
1
m - 2,-1,0,1,2; s
2
3d 1 : n 3; l 2; m 1;
1
s
2
2d-Zustände gibt es nicht, weil die Nebenquantenzahl l nur Werte zwischen 0 und n-1
annehmen kann. Ein d–Zustand würde aber l = 2 bedeuten.

Hintergrundinformation:
Die in der Literatur oftmals mit
p x und
p y bezeichneten Orbitale des Wasserstoffatoms, die die
Form einer Hantel haben, entsprechen nicht den Eigenfunktionen, die durch m 1
i
charakterisiert sind, sondern sind Superpositionen von diesen ( ( 2,1,1
2,1,
1)
). Diese
2
speziellen Lösungen der Schrödingergleichung sind interessant, weil sie reell sind. Die
Eigenfunktionen von l z zu den Eigenwerten m 1sind komplex und die zugehörigen
Orbitale haben die Form eines Torus. Die zum p z - Orbital gehörige Wellenfunktion ist
hingegen in der Tat eine Eigenfunktion zu l z zum Eigenwert m = 0.
(Quellen: http://de.wikipedia.org/wiki/Orbital, Haken Wolf, S.172/173; 6. Auflage,
http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/software/hydrogenlab/Programme.htm >
HydrogenLab: Orbital)