Grundlagen der Logik - Technologie der Informationssysteme ...

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Grundlagen der Logik
Datenbanken I (Systemorientierte Informatik IV)
Sommersemester 2007
Gunar Fiedler (fiedler@is.informatik.uni-kiel.de)
Institut für Informatik
Arbeitsgruppe ”
Technologie der Informationssysteme“
Christian-Albrechts-Universität zu Kiel
Um eine unmissverständliche Anfrage an ein Datenbanksystem zu stellen, ist eine
formale Definition der Anfragesprache notwendig. Diese Definition bestimmt, welche
Anfragen als gültig betrachtet werden und welche Bedeutung (Semantik) diesen
Anfragen zugeordnet ist.
Wir behandeln hier zwei Ansätze formaler Sprachen für die Formulierung von Anfragen
an Datenbanksysteme. Die relationale Algebra definiert eine Menge von möglichen
Operationen über den Relationen einer Datenbank. Diese Operationen bilden
die Relationen der Datenbank auf andere Relationen ab. Eine Anfrage der relationalen
Algebra ist eine Folge von Anweisungen, die angibt, welche Operationen
auf welche Relationen angewendet werden müssen, um das gewünschte Ergebnis zu
erhalten.
Der relationale Tupelkalkül geht einen anderen Weg: mit Hilfe einer Sprache werden
die Eigenschaften des gewünschten Ergebnisses beschrieben. Das Datenbanksystem
bestimmt aus den Relationen der Datenbank den Zustand, der diese Eigenschaften
erfüllt.
Beide Anfragesprachen benutzen die mathematischen Grundlagen der Logik. Deshalb
beginnen wir in diesem Skript mit einer kurzen Einführung in die Begriffswelt
der Logik. Dabei beschränken wir uns auf die Elemente, die für unsere Anfrageformulierung
wichtig sind.
1 Aussagenlogik
1.1 Formeln, Interpretationen und Modelle
Die Aussagenlogik stellt einen Rahmen für die Bestimmung des Wahrheitgehalts von
Aussagen bzgl. einer gegebenen Welt bereit. Eine Aussage wird dabei aus Teilaussagen
zusammengesetzt, die mittels Junktoren verbunden werden. Die Basis bilden
strukturlose Elementaraussagen, die nicht weiter zerlegt werden können.
Betrachten wir folgende Aussagen:
A 1 : ”
Es regnet.“
A 2 : ”
Die Straße ist nass.“

1 Aussagenlogik Datenbanken I
Aus beiden (Elementar-)Aussagen können weitere Aussagen zusammengesetzt werden:
A 3 : ”
Es regnet und die Straße ist nass.“
A 4 : ”
Wenn es regnet, ist die Straße nass.“
A 5 : ”
Die Straße ist nicht nass.“
A 6 : ”
Wenn die Straße nass ist, regnet es.“
A 7 : ”
Wenn es regnet, ist die Straße nass. Die Straße ist nicht nass. Es regnet nicht.“
A 8 : ”
Die Straße ist genau dann nass, wenn es regnet.“
Das Verbinden von Teilaussagen zu komplexeren Aussagen geschieht mit Hilfe von
Junktoren. Typische Junktoren sind ”
und“ (∧), ”
oder“ (∨), ”
nicht“ (¬), die Implikation
(⇒) und die Äquivalenz (⇔). Mit Hilfe dieser Symbole lassen sich die Aussagen
A 3 bis A 8 z.B. wie folgt als Formeln schreiben:
A 3 : A 1 ∧ A 2
A 4 : A 1 ⇒ A 2
A 5 : ¬A 2
A 6 : A 2 ⇒ A 1
A 7 : (A 1 ⇒ A 2 ) ∧ (¬A 2 ) ∧ (¬A 1 )
A 8 : A 1 ⇔ A 2
Bis jetzt ist eine Aussage nur ein syntaktischer Ausdruck, dem eine Bedeutung (Semantik)
zugeordnet werden muss. Der Wahrheitswert einer Aussage bestimmt sich
aus den Wahrheitswerten der Teilaussagen und der Verknüpfung dieser Wahrheitswerte
durch den Junktor. Als Wahrheitswerte werden üblicherweise wahr“ (W ) und
”
falsch“ (F ) benutzt. Die Verknüpfungen können mit Hilfe von Wertetabellen dargestellt
”
werden:
A ∧ B A ist falsch A ist wahr
B ist falsch falsch falsch
B ist wahr falsch wahr
A ∨ B A ist falsch A ist wahr
B ist falsch falsch wahr
B ist wahr wahr wahr
A ⇒ B A ist falsch A ist wahr
B ist falsch wahr falsch
B ist wahr wahr wahr
A ⇔ B A ist falsch A ist wahr
B ist falsch wahr falsch
B ist wahr falsch wahr
¬A A ist falsch A ist wahr
wahr falsch
2 SS 2007, Gunar Fiedler, ISE@CAU

Datenbanken I
1 Aussagenlogik
Der Wahrheitswert einer Elementaraussage ergibt sich aus der betrachteten Welt.
Nehmen wir folgende Situationen an:
Situation 1 Situation 2 Situation 3
A 1 ist wahr A 1 ist falsch A 1 ist falsch
A 2 ist wahr A 2 ist wahr A 2 ist falsch
In Situation 1 sind A 1 und A 2 beide wahr. Ein Blick in die Wertetabellen der Junktoren
verrät, dass demnach auch A 3 , A 4 , A 6 und A 8 wahr sind. A 5 ist falsch. Für
A 7 wenden wir die Verknüpfung über mehrere Stufen an: A 1 ⇒ A 2 ist nach Wertetabelle
wahr und ¬A 2 ist falsch. Demnach ist (A 1 ⇒ A 2 ) ∧ (¬A 2 ) falsch. ¬A 1 ist
ebenso falsch. Deshalb folgt, dass die Gesamtaussage A 7 falsch ist.
A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8
Situation 1 W W F W F W
Situation 2 F W F F F F
Situation 3 F W W W W W
Mathematisch können wir die Situationen als Funktionen auffassen, die den Aussagen
jeweils einen Wahrheitswert zuweisen. Diese Funktionen nennen wir in Zukunft
Interpretationen. Wenn eine Formel ϕ unter einer Interpretation I zu wahr ausgewertet
wird, sagen wir: ”
I ist ein Modell von ϕ.“ und schreiben I |= ϕ, beispielsweise
ist die Situation 1 ein Modell der Formel A 3 :
|= A 3
Die Situation 2 ist dagegen kein Modell der Formel A 6 :
A 6
SS 2007, Gunar Fiedler, ISE@CAU 3

1 Aussagenlogik Datenbanken I
Eine Formel ϕ heißt erfüllbar, wenn es eine Interpretation gibt, unter der ϕ zu wahr
ausgewertet wird. In unserem Beispiel sind die Aussagen A 1 bis A 8 demnach alle
erfüllbar. Eine Formel heißt allgemeingültig, wenn sie unter allen Interpretationen zu
wahr ausgewertet wird. Allgemeingültige Formeln werden auch Tautologien genannt.
In unserem Beispiel ist die Aussage A 4 eine Tautologie (wenn angenommen wird,
dass nur die drei gegebenen Situationen existieren.) Da die konkrete Interpretation
für den Wahrheitswert einer Tautologie keine Rolle spielt, lässt man sie weg und
schreibt
|= A 4
1.2 Theorien und Ableitungen
Das Wissen über Modelle von Formeln kann benutzt werden, um aus einer gegebenen
Menge von Formeln diejenigen Formeln abzuleiten, die zwingend auch gelten. Wenn
beispielsweise bekannt ist, dass die Aussagen A 1 und A 2 beide wahr sind, dann wissen
wir auch (aufgrund der Definition der Junktoren), dass u.a. auch die Formel A 1 ∨ A 2
wahr ist. Anders gesprochen: alle Interpretationen, die Modell von A 1 und Modell
von A 2 sind, sind auch Modell von A 1 ∨ A 2 . Ein zweites Beispiel: Alle Modelle
der Formel A 1 ∧ A 2 sind auch Modell der Formel A 1 und Modell der Formel A 2 .
Andererseits gilt dies nicht zwingend für A 1 ∨ A 2 : in unserem Beispiel sind Situation
1 und Situation 2 Modelle der Formel A 1 ∨ A 2 , die Situation 2 ist aber kein Modell
der Formel A 1 .
Wenn jedes Modell einer Formelmenge Φ auch Modell einer Formel ψ ist, dann
folgt ψ aus Φ, geschrieben Φ |= ψ. Die Formelmenge Φ nennen wir eine Theorie.
Eine Interpretation I ist Modell einer Theorie, wenn sie Modell jeder Formel der
Theorie ist. Wenn eine Theorie mindestens ein Modell hat, nennen wir sie konsistent,
ansonsten inkonsistent.
Wenn eine Theorie (z.B. T = {A 1 , A 2 }) gegeben ist, dann wäre es interessant zu
wissen, welche Formeln auch gelten. Die Folgerungsrelation |= definiert dies zwar,
gibt aber keine Möglichkeit zur Bestimmung der Menge vor. Aus diesem Grunde
definieren wir eine Ableitungsrelation {ϕ 1 , ..., ϕ n } ⊢ ψ, indem wir Ableitungsregeln
(Inferenzregeln) angeben. Ableitungsregeln werden folgendermaßen geschrieben:
ϕ 1 , ..., ϕ n
ψ
Die Formelmenge ϕ 1 , ..., ϕ n stellt die Voraussetzung der Regel dar. Wenn jede der
Formeln der Voraussetzung abgeleitet werden kann, dann kann auch die Konsequenz
der Regel, die Formel ψ unterhalb des Strichs, abgeleitet werden. Wichtige Ableitungsregeln
sind:
Modus Ponens (Implikationsbeseitigung): Wenn es eine Implikation gibt und
die Voraussetzung der Implikation abgeleitet werden kann, dann kann man auch die
Konsequenz ableiten:
4 SS 2007, Gunar Fiedler, ISE@CAU

Datenbanken I
1 Aussagenlogik
⊢ ϕ
⊢ ϕ ⇒ ψ
⊢ ψ
Und-Beseitigung: Wenn eine Konjunktion ableitbar ist, dann auch jede der Teilformeln:
⊢ ϕ 1 ∧ ... ∧ ϕ n
⊢ ϕ i
Und-Einführung: Wenn eine Menge von Formeln ableitbar ist, dann auch ihre
Konjunktion:
⊢ ϕ 1 , ..., ⊢ ϕ n
⊢ ϕ 1 ∧ ... ∧ ϕ n
Unit-Resolution: Wenn eine Disjunktion zusammen mit der Negation einer der
beiden Teilformeln ableitbar ist, dann ist die andere Teilformel ableitbar:
⊢ ϕ 1 ∨ ϕ 2 , ⊢ ¬ϕ 2
⊢ ϕ 1
Es gibt noch weitere Ableitungsregeln. In unserem Beispiel lässt sich folgende Ableitung
bilden: wir gehen davon aus, dass Aussage A 4 allgemeingültig ist ( ”
Wenn es
regnet, ist die Straße nass.“). Wir sehen aus dem Fenster und stellen fest, dass es
regnet.
∅ ⊢ A 1 (Elementaraussage der Welt)
∅ ⊢ A 1 ⇒ A 2 (als Tautologie akzeptiert, ”
Wissen“)
nach Modus Ponens folgt nun
{A 1 , (A 1 ⇒ A 2 )} ⊢ A 2
oder anders ausgedrückt: die Straße ist nass.
1.3 Anwendungen der Aussagenlogik in relationalen Datenbanken
Wir werden die Erkenntnisse über die Aussagenlogik sowohl in der relationalen Algebra
als auch im relationalen Tupelkalkül benutzen, um Bedingungen über Tupeln
auszudrücken. Jedes Tupel ist vergleichbar mit einer Situation im obigen Beispiel.
Für unsere Tupel können wir Elementaraussagen definieren, indem wir die Prädikate
der den Attributen zugeordneten Datentypen benutzen. Sei z.B. ein Relationenschema
ANGEST ELLT ER(Name, W ohnort, Niederlassung, Gehalt) gegeben.
Den Attributen Name, W ohnort und Niederlassung sei der Datentyp ”
Zeichenkette“
zugeordnet. Der Datentyp ”
Zeichenkette“ verfüge über ein Gleichheitsprädikat
=, dass auf lexikalische Gleichheit prüft. Dem Attribut ”
Gehalt“ seien neben
einem Gleichheitsprädikat auch Ordnungsprädikate zugeordnet. Dann
können wir folgende Elementaraussagen formulieren:
A 9 : W ohnort = ′ Kiel ′
SS 2007, Gunar Fiedler, ISE@CAU 5

2 Prädikatenlogik erster Stufe Datenbanken I
A 10 : W ohnort = Niederlassung
A 11 : Gehalt > 4000
Wir betrachten folgenden Zustand für das Relationenschema ANGEST ELLT ER
(die erste Spalte enthalte Variablennamen für die einzelnen Tupel, damit wir sie
referenzieren können):
Name Wohnort Niederlassung Gehalt
t 1 Müller Kiel Kiel 3500
t 2 Meyer Kiel Rendsburg 4000
t 3 Petersen Flensburg Flensburg 4300
t 4 Schmidt Lübeck Hamburg 4400
Die vier Tupel entsprechen den vier möglichen Situationen ( mögliche Welten“, engl.
”
possible worlds“.) Wir erhalten folgende Wahrheitswerte:
”
A 9 A 10 A 11 A 10 ∧ A 11
t 1 W W F F
t 2 W F F F
t 3 F W W W
t 4 F F W F
Demnach ist t 1 ein Modell der Aussagen A 9 und A 10 (t 1 |= A 9 , t 1 |= A 10 ). Das Tupel
t 3 ist z.B. ein Modell der Aussagen A 10 , A 11 und A 10 ∧ A 11 (t 3 |= A 10 , t 3 |= A 11 ,
t 3 |= (A 10 ∧ A 11 ).)
2 Prädikatenlogik erster Stufe
Die Aussagenlogik erlaubt es nicht, Aussagen über Mengen von möglichen Welten zu
treffen. Wenn wir unser Angestellten-Relationenschema aus dem letzten Abschnitt
als Beispiel nehmen, dann kann die Aussage ”
Alle Angestellten der Hamburger Niederlassung
verdienen mehr als 3000 e.“ nicht mit Hilfe der Aussagenlogik formuliert
werden 1 . Aus diesem Grunde erweitern wir unseren Formelbegriff um folgende Konstrukte:
• Wir führen Variablen ein. 2 Wir benutzen hier getypte Variablen (analog zur
Diskussion über die Attribute des relationalen Datenmodells.)
1 Die Aussage kann natürlich als Elementaraussage über den Niederlassungen formuliert werden.
Allerdings ist es dann nicht mehr möglich, Zusammenhänge z.B. zum Gehalt eines einzelnen
Angestellten der Niederlassung herzustellen.
2 W ohnort, Niederlassung und Gehalt in den Formeln der Aussagenlogik sind keine Variablen in
diesem Sinne, da die Formel jeweils immer für eine ganz bestimmte Welt (für ein ganz bestimmtes
Tupel) ausgewertet wurde; dort sind den Attributen aber eindeutige Werte zugeordnet.
6 SS 2007, Gunar Fiedler, ISE@CAU

Datenbanken I
2 Prädikatenlogik erster Stufe
• Es werden Prädikate definiert. Die Aussagen der Aussagenlogik entsprechen
0-stelligen Prädikaten, z.B. EsRegnet(). Wir erlauben aber jetzt auch Prädikate
höherer Stelligkeit, z.B. IstNass(x) oder MuendetIn(x, y), wobei der
Wertebereich der Variablen x und y die Menge aller Straßen ist.
• Weiterhin existieren Quantoren: sei ϕ eine Formel der Prädikatenlogik erster
Stufe. Dann sind auch
(∃x)(ϕ)
(∀x)(ϕ)
es gibt“
”
für alle“
”
Formeln der Prädikatenlogik erster Stufe, wobei die Variable x in ϕ ”
frei“ sein
muss: sie darf in ϕ noch nicht an einen Quantor (∃ oder ∀) gebunden sein.
Mit Hilfe der Quantoren lassen sich jetzt Aussagen über Mengen von Objekten
machen, beispielsweise ”
Es gibt eine nasse Straße“:
(∃x)(IstNass(x))
oder ”
Jede Straße mündet in eine andere Straße.“
(∀x)((∃y)(MuendetIn(x, y)))
Die üblichen Junktoren der Aussagenlogik bleiben uns erhalten: ”
Wenn es regnet,
sind alle nichtüberdachten Straßen nass.“:
EsRegnet() ⇒ (∀x)((¬Ueberdacht(x)) ⇒ IstNass(x))
Nicht alle Variablen müssen an Quantoren gebunden sein: ”
Die nassen Straßen“
IstNass(x)
Eine Interpretation einer Formel der Prädikatenlogik erster Stufe ist eine Funktion,
die allen Prädikaten eine Ausprägung (Extension) zuordnet, d.h. eine Menge von
Tupeln, die das Prädikat erfüllen. 3
Eine Variablenbelegung ϱ ordnet jeder Variablen einen Wert ihres Wertebereichs zu.
Damit können wir die |= - Relation definieren:
I, ϱ |= P (x 1 , ..., x n ) gdw. (ϱ(x 1 ), ..., ϱ(x n )) ist in der durch I gegebenen Ausprägung
des Prädikats P enthalten.
Beispiel: Betrachten wir die Formel IstNass(x). Sei die Menge aller Straßen S =
{Olshausenstr, W estring, W aitzstr, Ostring}. Die Interpretation I weise dem Prädikat
IstNass die Menge {Olshausenstr, W estring, W aitzstr} zu. Die Variablenbelegung
ϱ 1 weise der Variablen x den Wert W estring zu. Dann gilt I, ϱ 1 |= IstNass(x),
3 Korrekterweise ist die Interpretation ein Tripel bestehend aus dem Wertebereich, der Belegung
der Konstantensymbole und der Prädikatsausprägung, aber dies vernachlässigen wir hier.
SS 2007, Gunar Fiedler, ISE@CAU 7

3 Mehrwertige Logiken Datenbanken I
da ϱ 1 (x) = W estring und W estring ∈ {Olshausenstr, W estring, W aitzstr}. Wenn
wir die Variablenbelegung ϱ 2 betrachten, die der Variablen x den Wert Ostring zuweist,
dann gilt I, ϱ 2 IstNass(x), da Ostring /∈ {Olshausenstr, W estring, W aitzstr}.
Wenn wir aber die Interpretation I 2 betrachten, die dem Prädikat IstNass die
Menge {Olshausenstr, W estring, W aitzstr, Ostring} zuordnet, dann gilt I 2 , ϱ 2 |=
IstNass(x).
Für die Junktoren ist die |= - Relation entsprechend der Aussagenlogik definiert.
Für die Quantoren gilt:
I, ϱ |= (∀x)(ϕ) gdw. I, ϱ ′ |= ϕ für alle möglichen ϱ ′ , die sich von ϱ höchstens in der
Belegung von x unterscheiden.
I, ϱ |= (∃x)(ϕ) gdw. es gibt eine Variablenbelegung ϱ ′ , die sich von ϱ höchstens in
der Belegung von x unterscheidet, so dass gilt: I, ϱ ′ |= ϕ.
Wenn I, ϱ |= ϕ für alle Belegungen ϱ gilt, dann schreiben wir auch I |= ϕ und
sagen I erfüllt ϕ bzw. I ist ein Modell von ϕ. Die Definitionen der Erfüllbarkeit und
Allgemeingültigkeit orientieren sich an denen der Aussagenlogik.
Wir werden die Prädikatenlogik erster Stufe im Kontext des relationalen Tupelkalküls
benutzen, um Anfragen an Datenbanksysteme zu formulieren.
3 Mehrwertige Logiken
Bisher haben wir zweiwertige Logiken betrachtet: eine Aussage war immer entweder
wahr oder falsch. Es ist jedoch nicht in allen Situationen möglich, diese Entscheidung
zu treffen: manchmal ist eine Aussage ”
ein bisschen wahr und ein bisschen falsch“,
manchmal wissen wir nicht, ob eine Aussage wahr oder falsch ist. Betrachten wir
z.B. folgende Personen:
Anna Kristina Joe Sandra Thomas
blondes Haar rotes Haar Glatze Welche Haarfarbe? Glatze oder Haare?
Anna hat offensichtlich blondes Haar. Kristina hat rotes Haar und Joe trägt eine
Glatze. Sandra färbt sich öfters die Haare, deshalb weiß man es nie so genau, welche
Haarfarbe sie momentan hat. Da man Thomas nur mit seinem Helm sieht, weiß man
nicht, ob er eine Glatze trägt bzw. welche Farbe seine Haare haben. Wenn wir eine
Relation mit den Haarfarben der Personen aufschreiben, dann kann man für Anna
und Kristina eindeutig ’blond’ bzw. ’rot’ eintragen. Joe hat keine Haare und demnach
auch keine Haarfarbe. Bei Sandra kennen wir die Farbe nicht und bei Thomas sind
8 SS 2007, Gunar Fiedler, ISE@CAU

Datenbanken I
3 Mehrwertige Logiken
wir uns nicht sicher, ob er eine Haarfarbe hat. Unsere ”
Unwissenheit“ können wir
mit einem null-Wert im Wertebereich des Attributs Haarfarbe ausdrücken:
Name
Anna
Kristina
Joe
Sandra
Thomas
Haarfarbe
blond
rot
null
null
null
Angenommen, in der ”
realen Welt“ gibt es nur die Haarfarben blond, rot, braun
und schwarz. Wir können eine Aussage A 12 formulieren: Haarfarbe = ′ blond ′ ∨
Haarfarbe = ′ rot ′ ∨ Haarfarbe = ′ braun ′ ∨ Haarfarbe = ′ schwarz ′ . Offensichtlich
gilt:
Name : Anna, Haarfarbe : blond |= A 12
Name : Kristina, Haarfarbe : rot |= A 12
Obwohl wir alle möglichen Haarfarben aufzählen, fallen Joe, Sandra und Thomas
unter den Tisch. Dies ist in der Tatsache begründet, dass der null-Wert der Haarfarbe
ein künstlicher Wert ist, der keine Entsprechung in der ”
realen Welt“ hat. Er
vermischt das konkrete Datum Haarfarbe mit dem Wissen über die Existenz des
Datums Haarfarbe.
Wir können eine Aussage A 13 definieren: ¬Haarfarbe = ′ blond ′ . Für Kristina und
Joe ergibt dies das gewünschte Ergebnis. Bei Sandra und Thomas wissen wir aber
nicht, ob sie evtl. doch blond sind. Wenn dies der Fall ist, wäre die Antwort unseres
Systems falsch.
Aus diesem Grunde kann die klassische zweiwertige Logik erweitert werden. Der
hier vorgestellte Ansatz wurde von Jan ̷Lukasiewicz 1920 eingeführt. Es wird ein
dritter Wahrheitswert definiert, der zwischen ”
wahr“ und ”
falsch“ angesiedelt ist.
Der Wahrheitsgehalt dieses Werts wird als ”
möglich, aber nicht bewiesen“ gedeutet.
Wir könnten also das Prädikat ”
=“ des Datentyps Haarfarbe so verändern:
=(x,y) blond rot schwarz braun null
blond W F F F M
rot F W F F M
schwarz F F W F M
braun F F F W M
null M M M M M
Das Prädikat sagt jetzt folgendes aus: die Werte blond, rot, schwarz und braun werden
untereinander im üblichen Sinne verglichen. Wenn einer der Werte null ist, dann
ist das Vergleichsergebnis möglicherweise wahr, möglicherweise aber auch falsch.
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3 Mehrwertige Logiken Datenbanken I
Wir müssen natürlich die Wertetabellen der Junktoren anpassen:
A ∧ B A ist falsch A ist möglich A ist wahr
B ist falsch falsch falsch falsch
B ist möglich falsch möglich möglich
B ist wahr falsch möglich wahr
Wenn eine der Teilaussagen falsch ist, dann kann die Gesamtaussage nicht wahr
”
werden. Wenn beide Teilaussagen wahr sind, ist die Gesamtaussage wahr. Wenn
eine Teilaussage wahr und die zweite Teilaussage möglicherweise wahr ist, dann ist
die Gesamtaussage möglicherweise wahr. Wenn beide Teilaussagen möglicherweise
wahr sind, ist die Gesamtaussage möglicherweise wahr.“
A ∨ B A ist falsch A ist möglich A ist wahr
B ist falsch falsch möglich wahr
B ist möglich möglich möglich wahr
B ist wahr wahr wahr wahr
Wenn eine der Teilaussagen wahr ist, wird die Gesamtaussage wahr. Wenn beide
”
Teilaussagen falsch sind, ist die Gesamtaussage falsch. Sonst ist die Gesamtaussage
möglich.“
Es gibt zwei Arten der Negation: die starke Negation ¬A und die schwache Negation
∼ A:
¬A A ist falsch A ist möglich A ist wahr
wahr möglich falsch
∼ A A ist falsch A ist möglich A ist wahr
wahr wahr falsch
Aufbauend auf den beiden Negationen gibt es zwei Implikationen: A ⇒ B = def
¬A ∨ B, A → B = def ∼ A ∨ B. Man beachte, dass die Tautologien der klassischen
Logik (z.B. A ∨ ¬A) in der dreiwertigen Logik nicht unbedingt gelten müssen.
Aufbauend auf der mehrwertigen Logik lässt sich jetzt z.B. die Anfrage ”
Wer hat
ganz sicher keine blonden Haare?“ von der Anfrage ”
Wer hat möglicherweise keine
blonden Haare?“ unterscheiden.
Die hier vorgestellte dreiwertige Logik hat immer noch Probleme: Auf die Anfrage
Wer hat möglicherweise blonde Haare?“ qualifiziert sich Joe immer noch, obwohl er
”
als Glatzenträger mit Sicherheit keine blonden Haare hat. Allerdings fällt er bei der
Anfrage Wer hat mit Sicherheit keine blonden Haare?“ unter den Tisch. Deshalb
”
kann die dreiwertige Logik erweitert werden, um verschiedene Arten von null-Werten
zu unterstützen. In unserem Beispiel unterscheidet sich die Bedeutung des null-Werts
für Joe, Sandra und Thomas: bei Joe drückt die null aus, dass es keinen Wert für die
Haarfarbe gibt, bei Sandra, dass die Haarfarbe unbekannt ist und bei Thomas, dass
unbekannt ist, ob es einen Wert für die Haarfarbe gibt. Mit diesen Erweiterungen
werden wir uns hier aber nicht beschäftigen.
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