Ergänzungen zur Umformung von Frequenzgängen und ...

82 Dynamisches Verhalten von Übertragungsgliedern
und die Tatsache benutzt werden, dass Addition und Subtraktion harmonischer
Größen der gleichen Frequenz durch die entsprechende Verknüpfung
der diese Größen repräsentierenden Zeiger darstellbar sind.
Man erhält so als Gesamtfrequenzgang der Parallelschaltung
G = G 1 ± G 2 , (3.132)
der Reihenschaltung
G = G 1 · G 2 (3.133)
und der Rückkopplung
G =
G v
1 ± G v · G r
(3.134)
Der Nenner in der Gleichung für die Rückkopplung wird zu „1+G v ·G r “,
wenn die Rückkopplungsschleife über ein „-“ geschlossen ist. Andernfalls
zu „1 − G v · G r “. Der Frequenzgang des Vorwärtszweigs G v entspricht
der direkten Wirkung der Eingangs- auf die Ausgangsgröße ohne
Rückführung.
G 0 =±G v · G r (3.135)
wird als Frequenzgang der aufgeschnittenen Rückkopplungsschleife
ohne äußere Eingangsgrößen definiert.
Der Zusammenhang zwischen Bildfunktionen (der Laplace-Transformation)
von Eingangs- und Ausgangsgröße und Übertragungsfunktion eines
Übertragungsgliedes
Y(s) = G(s) · U(s) (3.74)
entspricht genau dem in Gl.(3.96) angegebenen zwischen den Zeigern
der Größen und dem Frequenzgang. Daher gelten die hier gewonnenen
Rechenregeln ohne jede Einschränkung auch für Übertragungsfunktionen.
Die Rechenregeln können zur Bestimmung der Übertragungsfunktion
oder des Frequenzganges komplizierterer Schaltungen (z. B. der in Bild
3-14) benutzt werden, indem man schrittweise Teile der Schaltung unter
Anwendung der Regeln zusammenfasst. Folgenden Vorgehensweise
wird für die Umformung vorgeschlagen:

3.10 Rechenregeln für Frequenzgänge und Übertragungsfunktionen 83
1. Reihenschaltungen zusammenfassen
2. Parallelschaltungen zusammenfassen
3. Innere Schleifen zusammenfassen
Wurde die Ausgangsschaltung auf die Form gemäß Tab. 3-7 mit einem
Vorwärtszweig und einer Rückkopplungsschleife tranformiert, so kann
der Gesamtfrequenzgang unter Verwendung von Gl.(3.134) einfach gefunden
werden.
Alternativ zu diesem Verfahren kann man ähnlich wie in den Ableitungen
in Tab. 3-7 vorgehen, alle in der Schaltung auftretenden Größen
benennen, ihre Verknüpfungen durch (algebraische) Gleichungen mit
Zeigern oder Bildfunktionen darstellen und das so aufgestellte System
algebraischer Gleichungen in die Form der Gl.(3.96) überführen. Da dieses
Verfahren relativ aufwendig ist, sollte man es nur in Sonderfällen
einsetzen.
Um zu zeigen, dass die Frequenzgangdarstellung viele Aufgaben vereinfacht,
soll auf ein in Abschnitt 3.2 behandeltes Beispiel zurückgegriffen
werden. Gesucht war die Differentialgleichung einer Reihenschaltung
Bild 3-3 mit den Differentialgleichungen
T 1 ẋ + x = K 1 u (3.20)
T 2 T 3 T 4
...
y + T 2 T 3 ÿ + T 4 ẏ + y = K 2 x . (3.21)
Statt so zu verfahren wie in Abschnitt 3.2, Gln.(3.22) und (3.23) vorgeschlagen,
bestimmt man die Frequenzgänge
G 1 = x u = K 1
1 + jωT 1
(3.136)
G 2 = y x = K 2
1 + jωT 4 + (jω) 2 T 2 T 3 + (jω) 3 T 2 T 3 T 4
, (3.137)
multipliziert diese zu