9.4 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit - Institut für ...

320 Zustandsraum
Element, der Gewichtsfunktion g(t), und die sog. Übertragungsmatrix
G(s) nur aus einem Element, der Übertragungsfunktion G(s).
Im hier zu betrachtenden Fall mehrerer Eingangs- und Ausgangsgrößen
besteht die Gewichtsmatrix G(t) aus einer entsprechenden Anzahl
von Gewichtsfunktionen, die Eingangs- und Ausgangsgrößen miteinander
verknüpfen; in entsprechender Weise sind die Elemente der Übertragungsmatrix
G(s) Übertragungsfunktionen, die Bildfunktionen von
Eingangs- und Ausgangsgrößen miteinander verbinden.
9.4 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit
Aus den allgemeinen Lösungen der Zustandsraumgleichungen (9.49)
und (9.54) lassen sich einige wichtige Aussagen über das beschriebene
System ableiten. Zu diesen Eigenschaften zählen die Steuerbarkeit
und die Beobachtbarkeit des Systems, Begriffe, die 1960 von Kalman
eingeführt worden sind.
Ein System
ẋ = A · x + B · u
y = C · x + D · u
(9.61)
heißt steuerbar, wenn sein Zustand x durch eine geeignete Eingangsgröße,
den Steuervektor u(t), in endlicher Zeit aus jedem beliebigen
Anfangszustand x(t 0 ) in den Endzustand 0 überführt werden kann.
Entsprechend heißt das System nach Gl.(9.61) beobachtbar, wenn man
bei bekannter Eingangsgröße u(t) aus der Messung von y(t) über ein
endliches Zeitintervall den Anfangszustand x(t 0 ) eindeutig bestimmen
kann. Für beobachtbare Systeme kann man sog. Zustandsbeobachter
konstruieren, die aus den Steuer- und den Ausgangsgrößen Schätzwerte
der Zustandsgrößen bilden.
Man kann zeigen, dass ein System mit einer einzigen Eingangsgröße u
und einer einzigen Ausgangsgröße y steuerbar ist, wenn die Vektoren
b, A · b, A 2 · b, ..., A n−1 · b (9.62)
linear unabhängig sind. Daher ist die (n,n)-Steuerbarkeitsmatrix
[
]
Q S = b, A · b, A 2 · b, ..., A n−1 · b
(9.63)

9.5 Stabilität und Regelung im Zustandsraum 321
genau dann regulär, wenn das System steuerbar ist. Das heißt Steuerbarkeit
ist genau dann gegeben, wenn
det Q S ≠ 0 . (9.64)
Ein System mit einer einzigen Eingangsgröße u, n Zustandsgrößen und
einer einzigen Ausgangsgröße y ist genau dann beobachtbar, wenn die
Vektoren
c T , c T · A , c T · A 2 , ..., c T · A n−1 (9.65)
linear unabhängig sind. Beobachtbarkeit ist also genau dann gegeben,
wenn die (n,n)-Beobachtbarkeitsmatrix
⎡
Q B =
⎢
⎣
regulär ist.
c T
c T · A
.
c T · A n−1
⎤
⎥
⎦
(9.66)
Für Systeme mit mehreren Eingangs- und mehreren Ausgangsgrößen
gelten entsprechend erweiterte Bedingungen.
9.5 Stabilität und Regelung im Zustandsraum
9.5.1 Stabilität und Zustandsrückführung
Die Pole der Übertragungsfunktion, das sind die Nullstellen ihres Nenners,
bestimmen bekanntlich die dynamischen Eigenschaften des Systems,
insbesondere seine Stabilität und seine Dämpfungseigenschaften.
Diese Aussage auf die Gl.(9.60) übertragen ergibt, dass die Wurzeln der
Gleichung
det(s · I − A) = 0 (9.67)
für das Verhalten des Systems wesentlich sind. Die Determinante in
Gl.(9.67) ist ein Polynom n-ten Grades in s und entspricht dem charakteristischen
Polynom. Die Wurzeln der Determinanten Gl.(9.67) werden