Inversion eines Frequenzgangs - Institut für Regelungstechnik (IRT ...

4.1 Allgemeines 99
Dann gilt
|G i (jω)| = |Z i(jω)|
|N i (jω)|
, (4.5)
ϕ i (ω) = ∠Z i (jω) − ∠N i (jω) , (4.6)
wobei für Zähler und Nenner jeweils
√
|·|= Re 2 {·} + Im 2 {·} , (4.7)
( ) Im{·}
∠· =arctan
(4.8)
Re{·}
gelten. Die Periodizität des Tangens ist hierbei ggf. zu berücksichtigen.
Die so gewonnenen Teilfrequenzgänge sind i. A. leicht zu interpretieren
und ihre Amplituden- und Phasengänge lassen sich zur Darstellung des
gesamten Frequenzganges einfach überlagern.
Gl. (4.5) zeigt, dass eine Vorzeichenänderung von Imaginärteil, Realteil
oder gesamtem Frequenzgang zu keiner Änderung des Betrags führt;
damit bleibt der Amplitudengang unverändert. Aus Bild 4-1 ist ersichtlich,
dass eine Negation des Imaginärteils zur Spiegelung des Phasengangs
an der 0 ◦ -Achse führt. Bild 4-1 zeigt ebenso, dass die Negation
des Realteils zu einer Spiegelung des Phasengangs an der 0 ◦ -Achse mit
nachfolgender Verschiebung um −180 ◦ führt. Bei der Negation des gesamten
Frequenzgangs ist der Phasengang um −180 ◦ abzusenken. Tabelle
4-1 fasst die hier gemachten Aussagen noch einmal übersichtlich
zusammen.
Im
G""
+
G"
Re( G)
G"
ϕ<
0
Re
Im( G)
G
ω
ω
OK
Bild 4-1: Spiegelung eines Zeigers

100 Lineare Regelkreisglieder
Die Inversion eines Frequenzgangs lässt sich durch Spiegeln des Amplitudengangs
an der |G|=1-Achse und Spiegeln des Phasengangs an der
0 ◦ -Achse darstellen. Diesen Zusammenhang verdeutlicht Bild 4-2, wobei
G* und ϕ* den gespiegelten Verläufen des Betragsverlaufs G und
des Phasenverlaufs ϕ entsprechen.
G(jω)
G
1
ω
∗
G
ϕ
o
90
ϕ
o
0
ω
-90 o ϕ∗
Bild 4-2: Inversion eines Frequenzgangs
Der mathematische Zusammenhang der Inversion eines Frequenzgangs
kann durch
G ∗ = 1 G = 1
|G| e jϕ = 1
|G| e−jϕ (4.9)
lg |G ∗ |=−lg |G| (4.10)
ϕ ∗ =−ϕ (4.11)
ausgedrückt werden.
In den Tabellen 4-2 bis 4-4 werden Übertragungsglieder mit Buchstaben
oder Buchstabengruppen bezeichnet, die das dynamische Verhalten
kennzeichnen sollen. Dabei werden Buchstabengruppen ohne
Rücksicht darauf gebildet, ob das zu kennzeichnende Verhalten durch
Reihen- oder durch Parallelschaltung der durch die Einzelbuchstaben
bezeichneten Grundglieder erzeugt wird, weil Verwechslungen kaum
möglich sind.