Topographische Modelle für Anwendungen in Hydraulik und ...

werden auf Basis der Netzgeometrie und der Rauigkeiten abgeleitet. Der Aufbau des Gleichungssystems
erfolgt elementweise, wobei in die einzelnen Gleichungen ,ähnlich wie bei der
FDM , die Koeffizienten der gerade betrachteten und der umgebenden Knoten eingehen.
Der Vorteil der FEM ist vor allem in einem verbesserten geometrischen Auflösungsvermögen
zu sehen. Durch die Verbindung von Dreiecks- oder Vierecksflächen, Parallelogrammen, etc
lassen sich komplexe Ränder sowie lokale Verfeinerungen besser modellieren als durch das bei
der FDM benutzte koordinatenparallele Rechengitter. Die geometrische Form der einzelnen
finiten Elemente hat allerdings bei der FEM einen starken Einfluss auf die numerische Stabilität
des Verfahrens. Daher sollten Konfigurationen mit sehr spitzen oder stumpfen Winkeln
vermieden werden.
Finite Volumina Methode
Die Finite Volumina Methode (FVM) ist ein weiteres numerisches Verfahren zur Lösung von
Erhaltungsgleichungen in der Form von vornehmlich hyperbolischen, partiellen Differentialgleichungen.
Das Verfahren eignet sich daher besonders zur Lösung der Navier-Stokes’schen
Bewegungsgleichungen 2.13 und wird bevorzugt für die numerische Lösung bei der dreidimensionalen
HN-Modellierung eingesetzt. Im Gegensatz zur FEM, bei welcher der Raum
zweidimensional in Drei- und Vierecke unterteilt wird, erfordert die FVM eine dreidimensionale
Zellaufteilung in Prismen, Tetraeder, Hexaeder und Pyramiden.
Der Vorteil der FVM liegt vor allem darin, dass hinsichtlich der numerischen Stabilität des Verfahrens
nur geringe Anforderungen an die Form der Gitterzellen gestellt werden. Das erlaubt
eine sehr flexible, gut an die natürlichen Verhältnisse angepasste Gestaltung der Geometrie.
Für eine detailliertere Beschreibung vor allem des mathematischen Hintergrundes sei auf die
Fachliteratur (z.B. [Tritthart, 2005], [Helf, 2000], [Hirsch, 1988], [Knothe u. Wessels, 1991]) verwiesen.
2.3.5 Datenstrukturen
Voraussetzung für die Anwendung numerischer Simulationsverfahren ist eine geeignete räumliche
Diskretisierung der Geometrie, im Speziellen für die HN-Modellierung von Fließgewässern
der Topographie im Sinne des DGM-W. Im Abschnitt 2.1 wurden Erfassungs- bzw. Interpolationstechniken
sowie Datenstrukturen für topographische Modelle vorgestellt. Diese eignen
sich aber nur bedingt zur direkten Anwendung in der HN-Modellierung, da sie einerseits
zumeist einen zu hohen Detailierungsgrad aufweisen und andererseits nicht für die Lösung
eines physikalischen Problems wie der Navier-Stokes’schen Bewegungsgleichungen ausgelegt
und optimiert sind.
Die räumliche Diskretisierung des Interessengebietes in Form eines geeigneten Rechengitters
ist daher ein notwendiger Vorverarbeitungsschritt für die numerische Modellierung. Der entsprechende
Prozess wird als Gitter- oder Netzgenerierung (mesh generation) bezeichnet. Folgende
grundlegende Gittertypen haben sich dabei etabliert:
• Strukturierte Gitter
• Kartesische Gitter
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