Nachtrag zu Mittelwerten und Maßen der Dispersion ... - IPdS in Kiel

Modul G.1 WS 06/07: Statistik 15.11.2006 2
Johnson (2004, p.14) beschreibt diese mittlere Tendenz als das zugrundeliegende Merkmal,
das wir bei Experimenten herausfinden wollen, das aber durch zufällige Fehler „verfälscht“
wird. Für die zufälligen Fehler gilt, dass die größeren Abweichungen seltener auftreten,
weshalb sich die Verteilung zu den Rändern hin an null annähert.
Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen
Grenzwertsatz, der besagt, dass eine Summe von n unabhängigen, identisch verteilten
Zufallsvariablen im Grenzwert
normalverteilt ist. Das bedeutet, dass man
Zufallsvariablen dann als normalverteilt ansehen kann, wenn sie durch Überlagerung einer
großen Zahl von Einflüssen entstehen, wobei jede einzelne Einflussgröße einen im Verhältnis
zur Gesamtsumme unbedeutenden Beitrag liefert.
Beispiel:
Auf einer Hühnerfarm mit sehr vielen Hühnern werden eine Woche lang die einzelnen Eier
gewogen. Definieren wir die Zufallsvariable X: Gewicht eines Eis in Gramm. Es stellt sich
heraus, dass ein Ei im Durchschnitt 50 g wiegt. Der Erwartungswert EX (oder auch µ) ist
daher 50. Außerdem sei bekannt, dass die Varianz s 2 (x) = 25 g 2 beträgt. Man kann die
Verteilung des Gewichts annähernd wie in der Grafik darstellen. Man sieht, dass sich die
meisten Eier in der Nähe des Erwartungswerts 50 befinden und dass die Wahrscheinlichkeit,
sehr kleine oder sehr große Eier zu erhalten, sehr klein wird. Wir haben hier eine
Normalverteilung vor uns. Sie ist typisch für Zufallsvariablen, die sich aus sehr vielen
verschiedenen Einflüssen zusammensetzen, die man nicht mehr trennen kann, z.B. Gewicht
des Huhns, Alter, Gesundheit, Standort, Vererbung usw.
Die Normalverteilung ist symmetrisch bezüglich μ. Die Verteilung P(X ≤ a) von X ist die
Fläche unter dem Graph der Dichtefunktion. Sie wird bezeichnet als
Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei höchstens 55 g wiegt, 0,8413. Das
entspricht der roten Fläche in der Abbildung.