Lehramt - Institut für Physikalische Chemie
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Schwingungsspektroskopie der Justierung des Spektrometers. Mit p(˜ν) = p(−˜ν) (3.35) und der Euler-Formel erhält man e iϕ = cosϕ+i·sinϕ (3.36) ∫ ∞ P (γ) = [I(γ)−I(∞)] = p(˜ν)·e i2π˜νγ d˜ν . (3.37) Mit dem Fourier-Integral-Theorem kann man nach der Spektrenfunktion −∞ p(˜ν) = ∫ ∞ ∫ ∞ P (γ)·e i2π˜νγ dγ = 2 P(γ)cos(2π˜νγ)dγ (3.38) −∞ 0 auflösen. Abb. 3.5.: Interferogramme und zugehörige Spektren. Abbildung 3.5 zeigt einige einfache und charakteristische Beispiele für die Fouriertransformation eines Interferogramms in das zugehörige Spektrum. Erkennbar sind die Cosinusform des Interferogramms für eine scharfe Spektrallinie, der Übergang in Schwebungen für mehrere Spektrallinien und der exponentielle Abfall auf den Grenzwert I(∞) = 1 I(0) für Spektrallinien mit realer Halbwertsbreite. Zu beachten ist dabei der Zusammenhang mit der Heisen- 2 berg’schen Unschärferelation (∆¯x) 2 ·(∆¯p) 2 ≥ 2 4 (3.39) 54
Schwingungsspektroskopie oder näherungsweise ∆x · ∆p ≥ 1/2 mit Ortsunschärfe ∆x und Impulsunschärfe ∆p. Mit der de-Broglie-Beziehung λ = h/p und der Kohärenzlänge ∆x für Photonen folgt daraus ∆x ≥ 1 4π ·∆˜ν , (3.40) d. h. ein streng monochromatischer Wellenzug ist unendlich lang, während ein polychromatisches Wellenpaket eine endliche Halbwertsbreite bzw. Kohärenzlänge besitzt, nach welcher die Interferogrammfunktion abklingt. In der Praxis ergibt sich das Problem, dass der Gangunterschied aufgrund der Geräteabmessungen nicht beliebig groß gewählt werden kann und nur in einem Intervall J = [−γ max +γ max ] gemessen wird. Dies entspricht mathematisch einem Produkt der Interferogrammfunktion mit einer Rechteckfunktion (Boxcar function) für welche gilt: S(γ) = 0 für γ ∋ J und S(γ) = 1 für γ ∈ J. Die Fouriertransformierte dieses Produktes ist das Faltungsprodukt p(˜ν)·ϑ(˜ν) = 2 ∫ ∞ 0 P (γ)·S(γ)·cos(2π˜νγ)dγ , (3.41) wobei ϑ(˜ν) die Fouriertransformierte der Funktion S(γ) ist. In Abbildung 3.6 sind die auftretenden Nebenmaxima als Folge dieser Rechteckblende erkennbar. Abb. 3.6.: Blendenfunktionen und Fouriertransformierte des Produktes aus Blendenfunktion und Interferogramm (Faltungsprodukt). Zudem bestimmt die Blendenfunktion S(γ) die Auflösung: Für die Auflösung A eines Gitterspektrometers gilt A = ˜ν = n·N (3.42) ∆˜ν mit der Gitterordnung n, der Anzahl N der Gitterstriche, der spektralen Spaltbreite ∆˜ν und der mittleren Wellenzahl ˜ν. Setzt man für ein Michelson-Interferometer mit Rechteckblende N = 2 und γ max = nλ, so ergibt sich ∆˜ν = 1 2γ max . (3.43) 55
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Schwingungsspektroskopie<br />
der Justierung des Spektrometers. Mit<br />
p(˜ν) = p(−˜ν) (3.35)<br />
und der Euler-Formel<br />
erhält man<br />
e iϕ = cosϕ+i·sinϕ (3.36)<br />
∫ ∞<br />
P (γ) = [I(γ)−I(∞)] = p(˜ν)·e i2π˜νγ d˜ν . (3.37)<br />
Mit dem Fourier-Integral-Theorem kann man nach der Spektrenfunktion<br />
−∞<br />
p(˜ν) =<br />
∫ ∞ ∫ ∞<br />
P (γ)·e i2π˜νγ dγ = 2 P(γ)cos(2π˜νγ)dγ (3.38)<br />
−∞<br />
0<br />
auflösen.<br />
Abb. 3.5.: Interferogramme und zugehörige Spektren.<br />
Abbildung 3.5 zeigt einige einfache und charakteristische Beispiele für die Fouriertransformation<br />
eines Interferogramms in das zugehörige Spektrum. Erkennbar sind die Cosinusform<br />
des Interferogramms für eine scharfe Spektrallinie, der Übergang in Schwebungen für mehrere<br />
Spektrallinien und der exponentielle Abfall auf den Grenzwert I(∞) = 1 I(0) für Spektrallinien<br />
mit realer Halbwertsbreite. Zu beachten ist dabei der Zusammenhang mit der Heisen-<br />
2<br />
berg’schen Unschärferelation<br />
(∆¯x) 2 ·(∆¯p) 2 ≥ 2<br />
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