1. Gleichstrom • Überlagerungsprinzip ... - IEM
1. Gleichstrom • Überlagerungsprinzip ... - IEM
1. Gleichstrom • Überlagerungsprinzip ... - IEM
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<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
<strong>•</strong> <strong>Überlagerungsprinzip</strong><br />
<strong>•</strong> Maschenstromverfahren<br />
<strong>•</strong> Knotenpotenzialverfahren<br />
<strong>•</strong> Zweipoltheorie<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
59
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
<strong>Überlagerungsprinzip</strong> (Superposition)<br />
Vorgehensweise:<br />
<strong>•</strong> Jede Energiequelle wird getrennt betrachtet<br />
<strong>•</strong> Resultierende Gesamtwirkung als Summe der Einzelwirkungen<br />
<strong>•</strong> N Energiequellen entsprechen N Netzwerke<br />
<strong>•</strong> Zählrichtung Strom / Spannung für alle Netzwerke beibehalten<br />
Beispiel 1<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
60
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
<strong>Überlagerungsprinzip</strong> (Superposition)<br />
Schritt 1:<br />
<strong>•</strong> Strom- und Spannungsrichtungen festlegen<br />
<strong>•</strong> Diese Richtungen gelten für alle weiteren Schritte<br />
Beispiel 1<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
61
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
<strong>Überlagerungsprinzip</strong> (Superposition)<br />
Schritt 2:<br />
<strong>•</strong> Auswahl einer Energiequelle (U1)<br />
<strong>•</strong> Entfernung aller anderen Quellen:<br />
Spannungsquelle = Kurzschluss, Stromquelle = einfach entfernen!<br />
<strong>•</strong> Berechnung aller Zweigströme<br />
Beispiel 1<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
62
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
<strong>Überlagerungsprinzip</strong> (Superposition)<br />
Schritt 2:<br />
<strong>•</strong> Berechnung aller Zweigströme (Energiequelle U1 aktiv)<br />
=<br />
<br />
+ ∥ + <br />
=<br />
<br />
+ =<br />
∙ + <br />
+ + <br />
200<br />
200Ω ∙ 50Ω + 100Ω<br />
100Ω +<br />
200Ω + 50Ω + 100Ω<br />
= 1,077<br />
= ∙<br />
= = ∙<br />
= 0<br />
+ <br />
+ + <br />
= 1,077 ∙<br />
<br />
+ + <br />
= 1,077 ∙<br />
50Ω + 100Ω<br />
200Ω + 50Ω + 100Ω = 0,4615<br />
200Ω<br />
200Ω + 50Ω + 100Ω = 0,6154<br />
Beispiel 1<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
63
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
<strong>Überlagerungsprinzip</strong> (Superposition)<br />
Schritt 3:<br />
<strong>•</strong> Auswahl einer weiteren Energiequelle (U2)<br />
<strong>•</strong> Entfernung aller anderen Quellen:<br />
Spannungsquelle = Kurzschluss, Stromquelle = einfach entfernen!<br />
<strong>•</strong> Berechnung aller Zweigströme<br />
Beispiel 1<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
64
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
<strong>Überlagerungsprinzip</strong> (Superposition)<br />
Schritt 3:<br />
<strong>•</strong> Berechnung aller Zweigströme (Energiequelle U2 aktiv)<br />
= =<br />
= ∙<br />
= − ∙<br />
− <br />
+ + ∥ <br />
=<br />
− <br />
−100<br />
+ + =<br />
= −0,4615<br />
⋅ <br />
100Ω ⋅ 200Ω<br />
+ <br />
50Ω + 100Ω +<br />
100Ω + 200Ω<br />
<br />
200Ω<br />
= −0,4615 ∙<br />
+ 100Ω + 200Ω = −0,3077<br />
<br />
+ <br />
= 0,4615 ∙<br />
100Ω<br />
100Ω + 200Ω = 0,1538<br />
= 0<br />
Beispiel 1<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
65
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
<strong>Überlagerungsprinzip</strong> (Superposition)<br />
Schritt 4:<br />
<strong>•</strong> Auswahl einer weiteren Energiequelle (I5)<br />
<strong>•</strong> Entfernung aller anderen Quellen:<br />
Spannungsquelle = Kurzschluss!<br />
<strong>•</strong> Berechnung aller Zweigströme<br />
Beispiel 1<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
66
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
<strong>Überlagerungsprinzip</strong> (Superposition)<br />
Schritt 4:<br />
<strong>•</strong> Berechnung aller Zweigströme (Energiequelle I5 aktiv)<br />
= ∙<br />
+ ∥ <br />
+ + ∥ <br />
= 10 ∙<br />
= − = 7,692 − 10 = −2,308<br />
= ∙<br />
<br />
+ <br />
= −2,308 ∙<br />
100Ω ⋅ 200Ω<br />
100Ω +<br />
100Ω + 200Ω<br />
= 7,692<br />
100Ω ⋅ 200Ω<br />
50Ω + 100Ω +<br />
100Ω + 200Ω<br />
200Ω<br />
100Ω + 200Ω = −1,538<br />
= − ∙<br />
<br />
+ <br />
= 2,308 ∙<br />
100Ω<br />
100Ω + 200Ω = 0,7693<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
Beispiel 1<br />
67
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
<strong>Überlagerungsprinzip</strong> (Superposition)<br />
Schritt 5:<br />
<strong>•</strong> Zusammenfassung aller Ergebnisse (Überlagerung = Superposition)<br />
Quelle I1 I2 I3 I4 I5<br />
U1 1,077A 0,4615A 0,6154A 0,6154A 0<br />
U2 -0,3077A 0,1538A -0,4615A -0,4615A 0<br />
I5 -1,538A 0,7693A 7,692A -2,308A 10A<br />
Summe -0,7687A 1,3846A 7,846A -2,154A 10A<br />
Beispiel 1<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
68
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
<strong>Überlagerungsprinzip</strong> (Superposition)<br />
Schritt 6:<br />
<strong>•</strong> Definition der Spannungen nach ohmschen Gesetz<br />
U R1 U R2 U R3 U R4<br />
-76,87V 276,9V 392,3V -215,4V<br />
<strong>•</strong> Frage: was bedeuten die negativen Vorzeichen bei<br />
berechneten Spannungen und Strömen?<br />
Beispiel 1<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
69
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
Maschenstromverfahren<br />
Vorgehensweise:<br />
<strong>•</strong> Nur Maschengleichungen (keine Knotenströme)<br />
<strong>•</strong> Nur voneinander linear unabhängige Maschengleichungen<br />
<strong>•</strong> Stromquellen müssen in Spannungsquellen umgewandelt werden<br />
<strong>•</strong> Zuordnung der Maschenströme und Berechnung<br />
<strong>•</strong> Berechnung der Zweigströme durch Überlagerung der Maschenströme<br />
Umwandlung<br />
Stromquelle -> Spannungsquelle<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
70
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
Maschenstromverfahren<br />
Schritt 1:<br />
<strong>•</strong> Maschenströme und Maschenumläufe definieren<br />
Beispiel 2<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
71
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
Maschenstromverfahren<br />
Schritt 2:<br />
<strong>•</strong> Berechnung aller Maschenströme<br />
Masche I:<br />
− + ∙ ∙ ∙ 0 → ∙ <br />
<br />
Masche II:<br />
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 0<br />
Masche III:<br />
∙ ∙ 0 → <br />
<br />
<br />
Beispiel 2<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
72
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
Maschenstromverfahren<br />
Schritt 2:<br />
<strong>•</strong> Fortsetzung: Berechnung aller Maschenströme<br />
Masche II:<br />
+ ∙ + ∙ + ∙ − + ∙ <br />
∙ <br />
+ − − <br />
<br />
− ∙ <br />
+ <br />
+ + ∙ + + − <br />
+ <br />
− = 0<br />
=<br />
− + ∙ <br />
+ <br />
− <br />
+ + −<br />
<br />
+ <br />
− <br />
=<br />
Beispiel 2<br />
+ ∙ = 0<br />
200 ∙ 200Ω<br />
−100 +<br />
100Ω + 200Ω − 392,3<br />
200Ω<br />
100Ω + 200Ω −<br />
<br />
100Ω + 200Ω<br />
= −2,154<br />
= − 392,3<br />
50Ω<br />
− 2,154 = −10; =<br />
200 − 2,154 ∙ 200Ω<br />
100Ω + 200Ω<br />
= −0,77<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
73
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
Maschenstromverfahren<br />
Schritt 3:<br />
<strong>•</strong> Berechnung der Zweigströme durch Überlagerung der Maschenströme<br />
= − = −0,77 + 2,154 = 1,385<br />
2,154 10 = 7,846<br />
Beispiel 2<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
74
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
Knotenpotenzialverfahren<br />
Vorgehensweise:<br />
<strong>•</strong> Für einen beliebigen Knoten wird Potential Null angenommen<br />
<strong>•</strong> Zweigströme für alle Zweige definieren<br />
<strong>•</strong> Knotengleichungen für die verbliebenen Knoten aufstellen<br />
<strong>•</strong> Spannungsgleichungen für alle Zweige aufstellen…<br />
<strong>•</strong> … und in die Knotengleichungen einsetzen<br />
<strong>•</strong> Spannungen und Zweigströme ermitteln<br />
Beispiel 3<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
75
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
Knotenpotenzialverfahren<br />
Schritt 1:<br />
<strong>•</strong> Knotenpunkte 1 und 2 definieren, Knotenpunkt 1 bekommt Potential Null<br />
<strong>•</strong> Stromrichtungen werden definiert<br />
Beispiel 3<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
76
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
Knotenpotenzialverfahren<br />
Schritt 2:<br />
<strong>•</strong> Knotengleichung für 2. Knoten:<br />
− − = 0<br />
<strong>•</strong> Spannungsgleichungen für alle Zweige aufstellen und nach Zweigströmen<br />
umstellen:<br />
! = − ∙ <br />
! ∙ → !<br />
<br />
→ ! <br />
<br />
! ∙ → ! <br />
<br />
Beispiel 3<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
77
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
Knotenpotenzialverfahren<br />
Schritt 3:<br />
<strong>•</strong> Beziehungen für die Ströme werden in die Knotengleichungen eingesetzt:<br />
− ! + <br />
+ <br />
− !<br />
<br />
− ! − <br />
<br />
= 0 → ! ∙<br />
−1<br />
+ <br />
− 1 <br />
− 1 <br />
+ <br />
+ <br />
+ <br />
<br />
= 0<br />
<strong>•</strong> Spannung U A bestimmen:<br />
! =<br />
<br />
−<br />
+ − <br />
<br />
−1<br />
+ − 1 − 1 =<br />
<br />
<br />
+ + <br />
<br />
1<br />
+ + 1 + 1 =<br />
<br />
100<br />
10Ω + 50Ω + 100<br />
50Ω<br />
1<br />
10Ω + 50Ω + 1<br />
50Ω + 1<br />
100Ω<br />
= 78,572<br />
Beispiel 3<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
78
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
Knotenpotenzialverfahren<br />
Schritt 4:<br />
<strong>•</strong> Zweigströme bestimmen:<br />
= − ! + <br />
+ <br />
=<br />
= !<br />
<br />
= 78,572<br />
= ! − <br />
<br />
−78,572 + 100<br />
10Ω + 50Ω<br />
100Ω = 0,786<br />
78,572 − 100<br />
=<br />
50Ω<br />
= 0,357<br />
= −0,429<br />
Beispiel 3<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
79
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
Zweipoltheorie (Ersatzquelle)<br />
Vorgehensweise:<br />
<strong>•</strong> Netzwerkaufteilung in einen aktiven und<br />
einen passiven Zweipol<br />
<strong>•</strong> Aktiver Zweipol wird zur<br />
Ersatzspannungs- oder<br />
Ersatzstromquelle umgeformt<br />
<strong>•</strong> Ersatzspannungsquelle besitzt die<br />
Leerlaufspannung<br />
<strong>•</strong> Ersatzstromquelle besitzt den<br />
Kurzschlussstrom<br />
<strong>•</strong> Innenwiderstand der Quelle entspricht<br />
dem Klemmenwiderstand, wenn alle<br />
Spannungsquellen durch Kurzschlüsse<br />
ersetzt und Stromquellen entfernt<br />
wurden<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
Beispiel 4<br />
80
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
Zweipoltheorie (Ersatzquelle)<br />
Schritt 1:<br />
<strong>•</strong> Die Ursprungsschaltung soll in eine Schaltung mit Ersatzspannungsquelle<br />
umgewandelt werden.<br />
<strong>•</strong> Dazu muss zuerst die Quellenspannung Uq definiert werden<br />
Beispiel 4<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
81
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
Zweipoltheorie (Ersatzquelle)<br />
Schritt 2:<br />
<strong>•</strong> Die Quellenspannung Uq entspricht der Leerlaufspannung<br />
" = # + − = ∙ # + 0 − = 10 ∙ 10Ω − 10 = 90<br />
Beispiel 4<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
82
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
Zweipoltheorie (Ersatzquelle)<br />
Schritt 3:<br />
<strong>•</strong> Bestimmung des Innenwiderstandes der Ersatzquelle<br />
$ = # + = 10Ω + 10Ω = 20Ω<br />
Beispiel 4<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
83
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
Zweipoltheorie (Ersatzquelle)<br />
Schritt 4:<br />
<strong>•</strong> Bestimmung der Ströme im passiven Zweipol<br />
=<br />
"<br />
$ + ∥ + %<br />
=<br />
90<br />
50Ω ∙ 50Ω + 50Ω<br />
20Ω +<br />
50Ω + 50Ω + 50Ω<br />
= 1,6875<br />
= ∙<br />
<br />
+ + %<br />
= 1,6875 ∙<br />
50Ω<br />
50Ω + 50Ω + 50Ω = 0,5625<br />
= ∙<br />
+ %<br />
+ + %<br />
= 1,6875 ∙<br />
50Ω + 50Ω<br />
50Ω + 50Ω + 50Ω = 1,125<br />
Beispiel 4<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
84
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
Zweipoltheorie (Ersatzquelle)<br />
Schritt 1*:<br />
<strong>•</strong> Die Ursprungsschaltung soll in<br />
eine Schaltung mit<br />
Ersatzstromquelle umgewandelt<br />
werden.<br />
<strong>•</strong> Der Strom der Stromquelle<br />
entspricht dem Kurzschlussstrom<br />
Ik an den Anschlussklemmen<br />
Beispiel 4<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
85
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
<strong>1.</strong>4 Berechnungsverfahren für die Netzwerke<br />
Zweipoltheorie (Ersatzquelle)<br />
Schritt 2*:<br />
<strong>•</strong> Kurzschlussstrom I K ermitteln (Superposition)<br />
& = ∙<br />
& =<br />
#<br />
+ #<br />
= 10 ∙<br />
− <br />
+ #<br />
=<br />
10Ω<br />
10Ω + 10Ω = 5<br />
−10<br />
10Ω + 10Ω = −0,5<br />
& = & + & = −0,5 + 5 = 4,5<br />
Beispiel 4<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
86
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
Aufgaben <strong>1.</strong>4<br />
1) Gegeben ist die abgebildete Schaltung. Berechnen Sie alle Ströme und<br />
Spannungen nach dem Superpositionsprinzip. Ermitteln Sie eine allgemeine Formel für<br />
die Spannung U 6 .<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
87
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
Aufgaben <strong>1.</strong>4<br />
2) Berechnen Sie alle Ströme und Spannungen der abgebildeten Schaltung nach dem<br />
Maschenstromverfahren.<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
88
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
Aufgaben <strong>1.</strong>4<br />
3) Bestimmen Sie die Zweigströme der abgebildeten Schaltung nach dem<br />
Knotenpotentialverfahren.<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
89
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
Aufgaben <strong>1.</strong>4<br />
4) Bestimmen Sie die Zweigströme der abgebildeten Schaltung nach dem<br />
Knotenpotentialverfahren.<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
90
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
Aufgaben <strong>1.</strong>4<br />
5) Bestimmen Sie den Zweigstrom der passiven Last der abgebildeten Schaltung nach<br />
der Zweipoltheorie über die Ersatzspannungsquelle.<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
91
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
Aufgaben <strong>1.</strong>4<br />
6) Gegeben ist die abgebildete Schaltung.<br />
a. Berechnen Sie den Laststrom I L .<br />
b. Bestimmen Sie die äquivalente Ersatzspannungsquelle.<br />
c. Bestimmen Sie die äquivalente Ersatzstromquelle.<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
92
<strong>1.</strong> <strong>Gleichstrom</strong><br />
Aufgaben <strong>1.</strong>4<br />
7) Gegeben ist die abgebildete Schaltung. Bestimmen Sie die Daten der äquivalenten<br />
Ersatzspannungs- und Ersatzstromquelle.<br />
ET1, Kovalev<br />
(THM StudiumPlus Wetzlar)<br />
93