im Dialog spezial 1_2004.PMD - Freudenberg Forschungsdienste ...
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FFD<br />
<strong>im</strong> <strong>Dialog</strong><br />
Ausgabe 1/2004<br />
<strong>Freudenberg</strong> <strong>Forschungsdienste</strong> KG . D-69465 Weinhe<strong>im</strong> . Tel. +49 (0)6201-80-4455 . Fax +49 (0)6201-88-3063 . e-mail: ffd@freudenberg.de<br />
Erweiterte Materialmodelle<br />
zur Beschreibung von<br />
nichtelastischen Effekten polymerer Werkstoffe<br />
Dr. Oliver Häusler, Guido Hohmann, Dr. Rainer Weiß<br />
<strong>Freudenberg</strong> <strong>Forschungsdienste</strong> KG
<strong>Freudenberg</strong><br />
<strong>Forschungsdienste</strong><br />
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<strong>im</strong> <strong>Dialog</strong><br />
<strong>Freudenberg</strong> <strong>Forschungsdienste</strong> KG . D-69465 Weinhe<strong>im</strong> . Tel. +49 (0)6201-80-4455 . Fax +49 (0)6201-88-3063 . e-mail: ffd@freudenberg.de
<strong>Freudenberg</strong><br />
<strong>Forschungsdienste</strong><br />
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<strong>im</strong> <strong>Dialog</strong><br />
Liebe Geschäftsfreunde,<br />
auf die S<strong>im</strong>ulation von Bauteilen kann heute bei der Entwicklung,<br />
nicht nur in der Automobiltechnik, nicht mehr verzichtet werden.<br />
Ausschlaggebend hierfür ist neben den Kosteneinsparungen – weniger<br />
Versuchsmuster und Versuche sind bei der Entwicklung notwendig –<br />
auch der Wunsch nach “besserer Ausnutzung” des Werkstoffes. Für<br />
letzteres ist insbesondere der oft “fehlende” Bauraum ausschlaggebend.<br />
Für <strong>Freudenberg</strong> und hierbei insbesondere für unsere Kollegen<br />
der <strong>Freudenberg</strong> Schwingungs- und Dichtungstechnik und der<br />
Vibracoustic ist es heute eine Selbstverständlichkeit, ihre Bauteile<br />
entsprechend auszulegen. Um dies zu erreichen, wurden bei <strong>Freudenberg</strong><br />
seit Jahren für Elastomerwerkstoffe <strong>Freudenberg</strong>-spezifische<br />
Werkstoffmodelle entwickelt.<br />
Nun gewinnen neben klassischen Elastomeren die Thermoplastischen<br />
Elastomere (TPE) <strong>im</strong>mer mehr an Bedeutung. Ihr Werkstoffverhalten<br />
unterscheidet sich gravierend von den klassischen Elastomeren. Der<br />
be<strong>im</strong> Zugversuch <strong>im</strong> Spannungs-Dehnungs-Diagramm bei der<br />
Entlastung beobachtete inelastische Dehnungsanteil tritt bei den<br />
Elastomeren nicht auf. Somit ist es erforderlich, das Werkstoffmodell<br />
ausgehend von dem für klassische Elastomere entwickelten zu<br />
modifizieren, um TPE entsprechend beschreiben zu können. Das<br />
Ergebnis dieser Überlegungen wird in der vorliegenden Arbeit<br />
vorgestellt.<br />
Wir hoffen, dass diese Ausarbeitung zum besseren Werkstoffverständnis<br />
und zur opt<strong>im</strong>alen Bauteilauslegung beiträgt.<br />
Ihr<br />
Dr. Thomas Barth<br />
<strong>Freudenberg</strong> <strong>Forschungsdienste</strong> KG . D-69465 Weinhe<strong>im</strong> . Tel. +49 (0)6201-80-4455 . Fax +49 (0)6201-88-3063 . e-mail: ffd@freudenberg.de
<strong>Freudenberg</strong><br />
<strong>Forschungsdienste</strong><br />
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<strong>im</strong> <strong>Dialog</strong><br />
Erweiterte Materialmodelle<br />
zur Beschreibung von nichtelastischen Effekten polymerer Werkstoffe<br />
Dr. Oliver Häusler, Guido Hohmann, Dr. Rainer Weiß<br />
<strong>Freudenberg</strong> <strong>Forschungsdienste</strong> KG<br />
Die Auslegung von neuen Produkten wird heute zum größten Teil durch die Methode<br />
der Finiten Elemente (FEM) unterstützt. Hierdurch lässt sich schon sehr<br />
früh <strong>im</strong> Entwicklungsprozess beurteilen, ob ein Design den gewünschten Anforderungen<br />
entspricht oder nicht.<br />
Das Werkzeug FEM kann aber nur dann sinnvoll und effektiv eingesetzt werden,<br />
wenn das Werkstoffverhalten möglichst exakt beschrieben wird. Standardmäßig<br />
werden bei Berechnungen von Elastomeren sogenannte „Hyperelastische Elastizitätsgesetze“<br />
verwendet. Diese können das nichtlineare Werkstoffverhalten sehr<br />
gut wiedergeben, versagen allerdings bei geschichtsabhängigem Materialverhalten,<br />
wie dies sowohl bei Elastomeren („Mullinseffekt“) als auch bei Thermoplastischen<br />
Elastomeren TPE (irreversible Verformungen) auftritt. Für beide Werkstoffklassen<br />
wurden bei <strong>Freudenberg</strong> Materialmodelle entwickelt, die auch die<br />
Geschichtsabhängigkeit des Materialverhaltens berücksichtigen. Für beide Werkstoffmodelle<br />
wird gezeigt, wie diese sich auf die S<strong>im</strong>ulation von Bauteilen auswirken.<br />
Einleitung<br />
Durch den Einsatz von numerischen Verfahren in der Entwicklung gelingt es,<br />
neue Produkte effektiv, preiswert und schnell zu entwickeln. Eines dieser numerischen<br />
Verfahren ist die Finite Elemente Methode (FEM). Ohne aufwändige und<br />
teure Musterwerkzeuge und Prototypen anfertigen zu lassen, kann hiermit das<br />
mechanische Verhalten eines Bauteils <strong>im</strong> Betriebszustand s<strong>im</strong>uliert werden.<br />
Hierdurch können sehr früh <strong>im</strong> Entwicklungsprozess vorhandene Schwachstellen<br />
aufgezeigt und beseitigt werden. Darüber hinaus wird es sehr einfach möglich,<br />
verschiedene Geometrievarianten, verschiedene Werkstoffe und verschiedene<br />
Betriebszustände miteinander zu vergleichen, und so ein für einen speziellen Anwendungsfall<br />
opt<strong>im</strong>ales Bauteil zu entwickeln.<br />
Aufbauend auf der FEM existieren weitere numerische Werkzeuge, mit denen<br />
zum Beispiel opt<strong>im</strong>ale Geometrien und Designvorschläge entwickelt werden können<br />
(Automatische Opt<strong>im</strong>ierung). Diese können jedoch nur dann sinnvoll eingesetzt<br />
werden, wenn das Werkstoffverhalten durch die FEM korrekt wiedergegeben<br />
wird. Eine möglichst exakte Abbildung der Realität in der S<strong>im</strong>ulation ist somit<br />
eine Grundvoraussetzung für den Einsatz solch weitergehender Werkzeuge.<br />
Neben dem Einsatz <strong>im</strong> Entwicklungsprozess wird die FEM auch verwendet, um<br />
Versagensfälle durch Beschädigung des Bauteils oder durch Funktionsversagen<br />
zu analysieren. Hierbei kann auch das Bauteilinnere betrachtet oder das Bauteilverhalten<br />
unter verschiedenen Lasten s<strong>im</strong>uliert werden.<br />
Für all diese Anwendungen ist es nötig, dass die Belastungen (Kräfte, Druck,<br />
Temperatur, Einspannungen,...) in einer FEM-Rechnung genau denen des Bauteils<br />
<strong>im</strong> Einsatzfall entsprechen und das Verhalten des betrachteten Werkstoffes<br />
bekannt sein muss. Die Belastungen werden hierzu in Form von Anfangsbedingungen<br />
einer FEM-Berechnung berücksichtigt.<br />
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<strong>Freudenberg</strong><br />
<strong>Forschungsdienste</strong><br />
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<strong>im</strong> <strong>Dialog</strong><br />
Das Werkstoffverhalten wird einem FEM-Programm über ein Werkstoffmodell<br />
zugänglich gemacht. Durch ein solches Modell wird der Zusammenhang zwischen<br />
einer auf einen Werkstoff aufgeprägten Belastung (Dehnung) und der Reaktion<br />
des Werkstoffes (Spannung) hergestellt. Für viele verschiedene Werkstoffe<br />
(Werkstoffklassen) existieren bereits Modelle, so auch für Elastomere.<br />
Bei den Werkstoffmodellen für Elastomere wird zumeist davon ausgegangen, dass<br />
sich der Werkstoff geschichtsunabhängig und rein elastisch verhält, d.h. die Spannungs-Dehnungskurven<br />
bei Be- und Entlastung genau gleich sind. Exper<strong>im</strong>ente<br />
an Elastomerproben und an Bauteilen zeigen jedoch, dass dieses Verhalten in der<br />
Realität nicht zutrifft (Mullins-Effekt). Aus diesem Grund wurde das <strong>Freudenberg</strong>-Materialmodell<br />
für Elastomere so erweitert, dass auch geschichtsabhängige<br />
Effekte berücksichtigt werden können. Im Gegensatz zu den später behandelten<br />
TPE geht die Verformung des Materials bei der Entlastung (fast) vollständig zurück.<br />
Das Material verhält sich also weiterhin elastisch.<br />
Neben vulkanisierten Elastomeren werden bei <strong>Freudenberg</strong> vermehrt Thermoplastische<br />
Elastomere (TPE) eingesetzt. Diese kombinieren die Vorteile von Elastomeren<br />
(Elastizität) mit den Vorteilen von Thermoplasten (Verarbeitbarkeit). TPEs<br />
jedoch zeigen ein relativ kompliziertes mechanisches Verhalten: Im Gegensatz zu<br />
Elastomeren geht bei TPEs die Verformung nach großen Deformationen nicht<br />
vollständig zurück (inelastischer Effekt). Ähnlich dem Verhalten von metallischen<br />
Werkstoffen verformt sich ein TPE oberhalb einer best<strong>im</strong>mten Grenzspannung<br />
inelastisch (plastisch), zeigt aber ansonsten den typischen nichtlinearen Verlauf<br />
eines Elastomers. In den kommerziellen FE-Codes existiert bislang kein Werkstoffmodell,<br />
welches dieses Verhalten wiedergeben kann. Da für die Produktentwicklung<br />
oftmals die bleibende Verformung berücksichtigt werden muss, wurde<br />
bei <strong>Freudenberg</strong> ein Werkstoffmodell entwickelt, welches das nichtlineare,<br />
inelastische Verhalten beschreiben kann.<br />
Elastomere<br />
Hyperelastizität<br />
Zur Beschreibung von Elastomeren existiert eine Vielzahl verschiedener Werkstoffmodelle<br />
(z.B. Neo-Hooke, Mooney-Rivlin, u.a.), die zum Teil auch in kommerzielle<br />
FE-Codes <strong>im</strong>plementiert sind. Die meisten dieser Modelle sind jedoch<br />
nicht in der Lage, das Elastomerverhalten über einen großen Dehnungsbereich<br />
vorherzusagen. Für FE-Berechnungen bei <strong>Freudenberg</strong> wurde aus diesem Grund<br />
ein eigenes Materialmodell entwickelt und eingesetzt, welches das Verhalten eines<br />
Elastomers in verschiedenen Belastungszuständen (einachsiger Zug, einachsiger<br />
Druck, reine Scherung) sehr gut wiedergibt (Kas1997).<br />
Da es sich bei all diesen Werkstoffmodellen um sogenannte „Hyperelastizitätsmodelle“<br />
handelt, ist die Spannung <strong>im</strong> Werkstoff eine eindeutige Funktion der<br />
Dehnung, d.h. zu jedem Verformungszustand in einem Bauteil gehört genau ein<br />
Beanspruchungszustand. Solche Hyperelastizitätsgesetze basieren auf einer sogenannten<br />
„freien Energiefunktion“<br />
( i = 1,2,3)<br />
( i = 1,2,3)<br />
I i<br />
stehen hierbei für die drei Invarianten des Dehnungstensors,<br />
λ bezeichnen die Verstreckungen.<br />
i<br />
Da sich Elastomere näherungsweise inkompressibel verhalten gilt I ≡ 3<br />
1 .<br />
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<strong>Freudenberg</strong><br />
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<strong>im</strong> <strong>Dialog</strong><br />
Spannung [MPa]<br />
5<br />
4,5<br />
4<br />
3,5<br />
3<br />
2,5<br />
2<br />
1,5<br />
Unkonditioniert<br />
Vorkonditioniert<br />
Mullinseffekt<br />
Betrachtet man das Verhalten eines Elastomers in einem Zugversuch, so fällt auf, dass<br />
sich der Werkstoff bei einem ersten Belastungszyklus und bei folgenden Belastungszyklen<br />
(nach Vorkonditionierung) unterschiedlich verhält (siehe Abbildung 1).<br />
Dieser Effekt der Spannungserweichung<br />
ist unter dem Begriff Mullins-Effekt<br />
bekannt (Mul1947). Bei<br />
Entlastungen von verschiedenen<br />
Vordehnungen (Vorkonditionierungen),<br />
ergibt sich das in Abbildung 2<br />
gezeigte Verhalten. Dieser Effekt ist<br />
umso stärker, je mehr Füllstoff <strong>im</strong><br />
Gummi enthalten ist. Bemerkenswert<br />
ist, dass die Dehnung bei Entlastung<br />
auf Null zurückgeht.<br />
Spannung [MPa]<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
5<br />
4,5<br />
4<br />
3,5<br />
3<br />
2,5<br />
2<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
Unkonditioniert<br />
Vorkonditioniert<br />
Ein solches geschichtsabhängiges<br />
Verhalten kann mit den existierenden,<br />
hyperelastischen Werkstoffmodellen<br />
nicht beschrieben werden, da<br />
Dehnung [ - ]<br />
nunmehr die Spannung keine eindeutige<br />
Funktion der Dehnung mehr ist, sondern abhängig von der Vorbelastung bei<br />
einer Dehnung verschiedene Spannungen <strong>im</strong> Werkstoff auftreten können. Mit den existierenden<br />
Modellen ist es nur möglich, einen vorkonditionierten Zustand zu beschreiben.<br />
Dies ist aber natürlich nur dann korrekt, wenn das Bauteil homogen verformt<br />
werden würde, was in der Realität<br />
sicher nur in den seltensten Fällen<br />
der Fall ist. Sobald in dem Bauteil<br />
inhomogene Verformungszustände<br />
vorhanden sind, d.h. an verschiedenen<br />
Stellen <strong>im</strong> Bauteil unterschiedliche<br />
Dehnungen auftreten,<br />
kann das reale Bauteilverhalten<br />
nicht korrekt wiedergegeben werden.<br />
In einem solchen Fall herrscht<br />
an jeder Stelle des Bauteils ein<br />
anderer Werkstoffzustand, der<br />
dann eben nicht mehr mit einem<br />
hyperelastischen Werkstoffmodell<br />
beschrieben werden kann.<br />
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1<br />
Abbildung 1:<br />
Einfluss<br />
der Vorkonditionierung<br />
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1<br />
Dehnung [ - ]<br />
Abbildung 2:<br />
Mullinseffekt<br />
Eine Möglichkeit den Mullinseffekt<br />
in einer FE-S<strong>im</strong>ulation zu berücksichtigen besteht darin, in einer ersten Berechnung<br />
mit jungfräulichem (nicht vorkonditioniertem) Material die an jeder Stelle max<strong>im</strong>al<br />
auftretenden Beanspruchungen zu ermitteln. In einem zweiten Schritt wird dann<br />
jedem Punkt des Bauteils ein „eigenes“ Materialverhalten zugeordnet, d.h. jedem Punkt<br />
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<strong>Freudenberg</strong><br />
<strong>Forschungsdienste</strong><br />
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<strong>im</strong> <strong>Dialog</strong><br />
werden eigene Werkstoffkennwerte zugeordnet. Dieses Verfahren ist jedoch sehr<br />
aufwändig.<br />
Eine zweite Möglichkeit vermeidet diese künstliche Annahme unterschiedlicher<br />
Werkstoffe, sondern es wird ein Werkstoffmodell definiert, das in der Lage ist,<br />
das komplette Werkstoffverhalten zu beschreiben. Dieses Modell basiert auf einer<br />
Idee von Ogden und kann an beliebige Hyperelastizitätsmodelle angepasst werden<br />
(Ogd1998). Um verschiedene Spannungs-Dehnungs-Beziehungen für verschiedene<br />
Vorbelastungen zu berücksichtigen, wird eine zusätzliche Variable, die<br />
sogenannte „Softening-Variable“ eingeführt. Diese Größe steuert die „Erweichung“<br />
des Werkstoffes. Die freie Energiefunktion ist dann in der Form<br />
mit der Softening-Variable h und der Softening-Funktion F, gegeben. Die freie<br />
Energiefunktion W _ beschreibt das Werkstoffverhalten des unkonditionierten Materials.<br />
Über die Softening-Variable wird<br />
gesteuert, ob sich das Werkstoffverhalten<br />
auf der unkonditionierten Kurve befindet (in<br />
diesem Fall ist h = 1 und F = 0). Ist der Werkstoff<br />
schon konditioniert, gilt für die Softening-Variable<br />
0 0 (siehe Abbildung<br />
3).<br />
4<br />
3<br />
η = 1<br />
η = 1<br />
η < 1<br />
Spannung [MPa]<br />
5<br />
4,5<br />
4<br />
3,5<br />
3<br />
2,5<br />
2<br />
1,5<br />
Um das reale Werkstoffverhalten zu beschreiben,<br />
muss eine geeignete Softening-<br />
Funktion Unkonditioniert F gefunden (Exper<strong>im</strong>ent) werden, die den oben<br />
angegebenen<br />
Vorkonditioniert (Exper<strong>im</strong>ent) Randbedingungen<br />
(F(h Vorhersage = 1) = 0, F(h0) genügt. Als freie<br />
Energiefunktion für den unkonditionierten<br />
Werkstoff kann jede beliebige, geeignete<br />
freie Energiefunktion verwendet werden.<br />
Insbesondere ist es hierdurch möglich, das<br />
σ<br />
2<br />
1<br />
η = 1<br />
η < 1<br />
<strong>Freudenberg</strong> Werkstoffmodell für Elastomere so zu erweitern, dass der Mullinseffekt<br />
berücksichtigt werden kann (Häu2000).<br />
0<br />
1 2 3 4<br />
λ<br />
η < 1<br />
Abbildung 3:<br />
Softening-Modell von Ogden<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
Numerische Ergebnisse<br />
Zur Überprüfung des neuen Werkstoffmodells<br />
sowie zur Best<strong>im</strong>mung Dehnung [ der - ]<br />
Werkstoffkennwerte, wurde der in Abbildung<br />
2 vorgestellte Zugversuch an<br />
einem Elastomerwerkstoff der Härte 52<br />
Sh(A) s<strong>im</strong>uliert. Das Ergebnis ist in Abbildung<br />
4 zu sehen.<br />
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1<br />
Abbildung 4:<br />
Vorhersage Mullins-Modell<br />
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10<br />
Kontaktspannung [MPa]<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0 bar, vor Max<strong>im</strong>albelastung<br />
0 bar, nach Max<strong>im</strong>albelastung<br />
Abbildung 5:<br />
FEM-Modell, Geometrie, Einbauzustand<br />
und max<strong>im</strong>ale Verpressung<br />
0<br />
6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7<br />
Position [mm]<br />
Abbildung 6:<br />
Kontaktspannungen zwischen Nutring und Welle<br />
Mit den hierdurch erhaltenen Werkstoffkennwerten wurde exemplarisch ein Nutring<br />
(siehe Abbildung 5) untersucht. S<strong>im</strong>uliert wurde der Einbau der Dichtung<br />
sowie eine Druckbelastung auf 50 bar. Ein Vergleich der Kontaktspannungen<br />
zwischen Nutring und Welle (siehe Abb. 6) zeigt einen deutlichen Einfluss des<br />
Mullinseffektes. Durch die Werkstofferweichung reduziert sich die Kontaktspannung<br />
<strong>im</strong> drucklosen Zustand <strong>im</strong> Vergleich zum unkonditionierten Werkstoff<br />
um ca. 60%.<br />
Thermoplastische Elastomere<br />
Werkstoffverhalten<br />
8<br />
7<br />
6<br />
TPE<br />
Elastomer (75ShA)<br />
Eine weitere in der Dichtungstechnik häufig eingesetzte Werkstoffklasse ist die der<br />
Thermoplastischen Elastomere. Auf den ersten Blick unterscheiden sich TPE und<br />
Elastomere in ihrem mechanischen Verhalten nur durch<br />
die unterschiedlichen Steifigkeiten. In Abbildung 7 werden<br />
beide Werkstoffe anhand eines Zugversuches miteinander<br />
verglichen.<br />
Spannung [MPa]<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
0 10 20 30 40<br />
Dehnung [ % ]<br />
Abbildung 7:<br />
Vergleich TPE – Elastomer<br />
Beide Werkstoffe zeigen in diesem Versuch ein stark nichtlineares<br />
Werkstoffverhalten, der einzige Unterschied ist<br />
die Steifigkeit des Werkstoffes. TPEs sind grundsätzlich<br />
wesentlich steifer als gewöhnliche Elastomere, da sie einen<br />
hohen Anteil an (steifem) thermoplastischem Material<br />
haben. Somit erscheint es möglich, auch TPEs mit<br />
einem nichtlinearen Hyperelastizitätsmodell zu s<strong>im</strong>ulieren.<br />
Betrachtet man sich das Werkstoffverhalten genauer, so<br />
treten doch deutliche Unterschiede auf, die nicht vernachlässigt werden können:<br />
Im Gegensatz zu Elastomeren verhalten sich TPEs nicht elastisch, sondern nach<br />
Belastungen treten bleibende Verformungen auf, das Material verhält sich teilweise<br />
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<strong>im</strong> <strong>Dialog</strong><br />
inelastisch. In Abbildung 8 ist ein Zugversuch<br />
bis zu einer Dehnung von 40% und zusätzlich<br />
die Entlastungskurven von 10%, 20%, 30% und<br />
40% dargestellt.<br />
Aus diesem Versuch ist deutlich das stark nichtlineare<br />
Werkstoffverhalten, sowohl bei der Be-<br />
4<br />
lastung, als auch bei der Entlastung, zu erkennen.<br />
Ein Entlasten des Werkstoffes führt zu 2<br />
3<br />
deutlichen bleibenden Dehnungen (8 % bei Entlastung<br />
von einer Dehnung von 40%). Es exis-<br />
1<br />
tieren andere TPEs bei denen diese bleibende, 0<br />
inelastische Dehnung bis zu 20% betragen<br />
kann. Wird der Werkstoff nach einer Entlastung<br />
wieder verformt, so steigt die Spannung entsprechend<br />
der letzten Entlastungskurve. Die inelastischen Verformungen treten<br />
allerdings erst ab einer best<strong>im</strong>mten Beanspruchung auf. Unterhalb dieser Beanspruchung,<br />
die für diesen Werkstoff bei ca. 3 MPa liegt, verhält sich der Werkstoff<br />
rein elastisch.<br />
Spannung [MPa]<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
Belastungs-Kurve<br />
Entlastungs-Kurven<br />
0 10 20 30 40<br />
Dehnung [ % ]<br />
Abbildung 8:<br />
Zugversuch<br />
mit Entlastungs-Kurven<br />
Neben dem Verhalten unter Zug wurde auch das<br />
Werkstoffverhalten bei einachsigem Druck untersucht.<br />
In Abbildung 9 ist das Ergebnis dargestellt.<br />
Das Verhalten unter Druck ist qualitativ und quantitativ<br />
dasselbe wie <strong>im</strong> Zugversuch: Der Werkstoff<br />
verhält sich stark nichtlinear, für kleine Belastungen<br />
verhält er sich rein elastisch und bei größeren<br />
Dehnungen treten inelastische Verformungen auf.<br />
Auch <strong>im</strong> Druckbereich liegt die Spannung, ab der<br />
inelastisches Verhalten beobachtet wird, bei ca.<br />
3 MPa.<br />
Spannung [MPa]<br />
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0<br />
0<br />
-3<br />
Entlastungs-Kurven<br />
-6<br />
Belastungs-Kurve<br />
-9<br />
-12<br />
Das in diesem Abschnitt gezeigte Verhalten ist für<br />
verschiedene TPE-Klassen (TPE-E, TPE-U, TPE-<br />
S, TPE-V) qualitativ dasselbe, die Werkstoffe unterscheiden<br />
sich nur quantitativ. Für kleine Verformungen ist das Verhalten rein<br />
elastisch, erst bei größeren Belastungen treten bleibende, inelastische Verformungen<br />
auf, wobei für alle Beanspruchungen ein stark nichtlineares Werkstoffverhalten<br />
beobachtet wird. Dadurch ist es möglich, alle untersuchten TPEs mit einem<br />
einzigen Werkstoffmodell zu beschreiben.<br />
Dehnung [ % ]<br />
Abbildung 9:<br />
Druckversuch<br />
mit Entlastungs-Kurven<br />
-15<br />
Werkstoffmodell<br />
Aufgrund seiner inelastischen Eigenschaften kann ein TPE nur sehr eingeschränkt<br />
mit hyperelastischen Werkstoffmodellen charakterisiert werden. Zwar sind solche<br />
Modelle in der Lage, das stark nichtlineare Werkstoffverhalten wiederzugeben und<br />
durch die zuvor vorgestellte Erweiterung um den Mullins-Effekt kann auch eine<br />
geschichtsabhängige Erweichung des Werkstoffes berücksichtigt werden. Es ist jedoch<br />
nicht möglich, bleibende Verformungen vorherzusagen. Somit kann ein solches<br />
Modell nur für kleine Belastungen sinnvoll eingesetzt werden.<br />
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<strong>im</strong> <strong>Dialog</strong><br />
Spannung [MPa]<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
Exper<strong>im</strong>ent<br />
Metall-Plastizitätsmodell<br />
Werkstoffmodelle, die in der Lage sind inelastische<br />
Verformungen vorherzusagen, sind aus der Metallplastizität<br />
bekannt (Cha1993, Tsa1996). Durch nichtlineare<br />
Ansätze zur Beschreibung der Verfestigung<br />
kann auch die nichtlineare Belastungskurve sehr gut<br />
vorhergesagt werden. Da diese Werkstoffmodelle jedoch<br />
von einem linearen Elastizitätsgesetz<br />
(Hooke’sches Gesetz) ausgehen, kann die nichtlineare<br />
Entlastung nicht beschrieben werden. Somit werden<br />
die bleibenden Dehnungen deutlich überschätzt<br />
(siehe Abbildung 10).<br />
Spannung [MPa]<br />
0<br />
Spannung [MPa]<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45<br />
Dehnung [ % ]<br />
Abbildung 10:<br />
Vorhersage mit Metall-Plastizitätsmodell<br />
Exper<strong>im</strong>ent<br />
TPE-Modell<br />
0 5 10 15 20 25 30 35 40<br />
Dehnung [ % ]<br />
Abbildung 11:<br />
Vorhersage TPE-Modell <strong>im</strong> Zugversuch<br />
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0<br />
Exper<strong>im</strong>ent<br />
TPE-Modell<br />
0<br />
-3<br />
-6<br />
-9<br />
-12<br />
Ein zusätzliches Problem der vorhandenen Werkstoffmodelle<br />
ist, dass diese nur für kleine elastische Verformungen<br />
formuliert sind. Diese Annahme st<strong>im</strong>mt für Metalle,<br />
bei denen die elastischen Verformungen klein bleiben.<br />
Da bei TPEs die elastischen Dehnungen jedoch bis<br />
zu 30% betragen können, ist diese Annahme jedoch nicht<br />
mehr gültig. Trotzdem kann die Analogie <strong>im</strong> Werkstoffverhalten<br />
zwischen metallischen Werkstoffen und TPEs<br />
dazu genutzt werden, ein neues Werkstoffmodell zu entwickeln,<br />
indem ein nichtlineares Elastizitätsgesetz verwendet<br />
wird.<br />
Numerische S<strong>im</strong>ulation<br />
Durch eine geeignete Wahl dieses Elastizitätsgesetzes<br />
sowie der Evolutionsgleichungen, die das Erweichungsverhalten<br />
des Werkstoffes beschreiben, gelingt es, das<br />
Verhalten des Werkstoffes <strong>im</strong> Zugversuch sehr gut wiederzugeben<br />
(siehe Abbildung 11). Hierzu wurden die<br />
Werkstoffkennwerte so ermittelt, dass das Materialverhalten<br />
möglichst gut wiedergegeben werden kann.<br />
Die Ermittlung der Kennwerte ist für dieses Modell<br />
nun jedoch um einiges komplizierter, da das Werkstoffverhalten<br />
geschichtsabhängig ist und ein System<br />
von Differentialgleichungen gelöst werden muss.<br />
Unter einigen vereinfachenden Annahmen gelingt es<br />
jedoch, die Gleichungen analytisch zu formulieren<br />
und die Werkstoffkennwerte durch einen „Least-<br />
Square-Fit“ zu best<strong>im</strong>men. Durch die Vereinfachungen<br />
ist es sicher nicht gelungen, den besten Satz an<br />
Werkstoffkennwerten zu ermitteln, das Ergebnis zeigt<br />
jedoch trotzdem eine sehr gute Übereinst<strong>im</strong>mung<br />
zwischen Modell und Exper<strong>im</strong>ent. Andere Möglichkeiten,<br />
die Kennwerte zu ermitteln, bestehen durch<br />
die Verwendung Neuronaler Netze (Hub1999) oder<br />
durch eine „Direct-Search“-Methode (Har2001).<br />
Dehnung [ % ]<br />
Abbildung 12:<br />
Vorhersage TPE-Modell <strong>im</strong> Druckversuch<br />
-15<br />
Mit den an den Zugversuch angepassten Werkstoffkennwerten<br />
wurde auch der Druckversuch s<strong>im</strong>uliert.<br />
Wie das Ergebnis in Abbildung 12 zeigt, ist die Vorhersage<br />
auch für die Druckbeanspruchung sehr gut.<br />
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40<br />
Kontaktspannung [MPa]<br />
35<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
0 bar, vor Druckbelastung<br />
0 bar, nach Druckbelastung<br />
5<br />
0<br />
6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7<br />
Position [mm]<br />
Abbildung 13:<br />
Kontaktspannungen zwischen Welle und Nutring<br />
Abbildung 14:<br />
Nutring mit bleibender Verformung<br />
Mit diesem Werkstoffmodell wurde auch der Nutring (siehe Abbildung 5) s<strong>im</strong>uliert. Da das TPE wesentlich steifer als<br />
das Vergleichselastomer ist, wurde der Nutring in diesem Fall einer Druckbelastung von 200 bar unterzogen. Erneut wird<br />
der Einfluss dieser Druckbelastung auf die Kontaktspannung zwischen Nutring und Welle untersucht (Abbildung 13).<br />
Darüber hinaus ist in Abbildung 14 der unverformte Zustand sowie der Nutring unter bleibender Verformung dargestellt.<br />
Fazit<br />
Durch die zunehmende Bedeutung der Finite Element Methode steigen auch die Anforderungen an die Beschreibung des<br />
Werkstoffverhaltens verschiedener Werkstoffe <strong>im</strong>mer mehr an. Für viele Anwendungen kann deshalb der Mullins-Effekt<br />
bei Elastomeren und das inelastische Verhalten von TPEs nicht vernachlässigt werden. Dass diese beiden Effekte jetzt<br />
numerisch erfasst werden können, wurde in dieser Veröffentlichung gezeigt. Beide Werkstoffmodelle wurden in einen<br />
kommerziellen FEM-Code <strong>im</strong>plementiert und werden bei den <strong>Freudenberg</strong> <strong>Forschungsdienste</strong>n standardmäßig <strong>im</strong> Entwicklungsprozess<br />
eingesetzt.<br />
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Approach“; Continuum Mech. Thermodyn. 8; Seiten: 213-231; 1996<br />
Impressum<br />
Herausgeber:<br />
<strong>Freudenberg</strong> <strong>Forschungsdienste</strong> KG, 69465 Weinhe<strong>im</strong><br />
Fachlicher Inhalt: Dr. Oliver Häusler, Guido Hohmann, Dr. Rainer Weiß<br />
Text:<br />
Dr. Oliver Häusler<br />
Gestaltung und Produktion: Peter Kuhn, <strong>Freudenberg</strong> Service KG<br />
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