Einführung in die medizinische Bildverarbeitung SS 2013

Einführung in die medizinische
Bildverarbeitung
SS 2013
Stephan Gimbel
© Stephan Gimbel Einführung in die medizinische Bildverarbeitung
h_da
1

Registrierung
Multi-Resolution Registrierung
‣ Optimierung durch Multi-Resolution Registrierung
‣ eine (von vielen) Möglichkeiten den Registrierungsprozess zu beschleunigen
‣ durch Image Pyramids werden die Bilder downgesampled
‣ die Registrierung wird dann erst grob für ein niedrig aufgelöstes Bild vorgenommen und
dann Schritt für Schritt verfeinert
380 Chapter 8. Registration
Fixed Image
Pyramid
Moving Image
Pyramid
Metric
Interpolator
Transform
Optimizer
Figure 8.36: Components of the multi-resolution registration framework.
has two additional components: a pair of image pyramids that are used to down-sample the
fixed and moving images as illustrated in Figure 8.36. Thepyramidssmoothandsubsamplethe
images according to user-defined scheduling of shrink factors.
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We now present the main capabilities of the multi-resolutionframeworkbywayofanexample.
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Registrierung
Multi-Resolution Registrierung
‣ Optimierung durch Multi-Resolution Registrierung
8.7. Multi-Resolution Registration 381
Registration Level 0
Transform
Registration Level 1
Transform
Registration Level 2
Transform
Registration Level 3
Transform
Moving Image
Pyramid
Registration Level 4
Transform
Fixed Image
Pyramid
Figure 8.37: Conceptual representation of the multi-resolution registration process.
it may be possible to take more aggressive step sizes and have amorerelaxedconvergencecriterion.
Another possible scheme is to use a simple translation transform for the initial coarse
© Stephan Gimbel registration and upgrade Einführung to an affine die transform medizinische at theBildverarbeitung
finer levels.
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Tweaking the components between resolution levels can be done using ITK’s implementation
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Registrierung
Mutual Information
‣ Woods et al.
‣ Regionen gleichen Gewebes (ähnliche Grauwerte) korrespondieren zueinander
‣ Ideal: Verhältnis zwischen Grauwerten variiert kaum
‣ → Durchschnittliche Varianz des Verhältnisses wird minimiert für Registrierung
‣ Hill et al.
‣ Nutzt Feature Space
‣ Kombination von Grauwerten korrespondierender Punkte in einem Plot
‣ Unterschied zu Woods: Cluster von Regionen im Feature Space
‣ Ändert sich mit der Registrierung (Joint Histogramm)
‣ Collignon et al. & Studholme et al.
‣ Verwendung der Entropie um die Registrierung zu messen
‣ Nutzung eines Joint Histogramms um die Wahrscheinlichkeitsverteilugn zu schätzen (jeden
Eintrag im Histogramm durch die Anzahl aller Einträge teilen)
‣ Shannon-Entropy für Joint-Distribution:
− p( i, j)log p( i.j)
∑
i, j
‣ Eine Transformation welche die Joint-Entropy minimiert, registriert die Bilder
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Registrierung
Mutual Information
‣ Definition
‣ Drei Formen, die alle zueinander überführt werden können
‣ Form I:
‣ Bilder A und B
‣ I bezeichnet die Mutual Information
‣ Für A und B gilt: I(A,B) = H(B) - H(A|B)
‣ H(B) ist dabei die Shannon-Entropie von Bild B
‣ berechnet durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Grauwerte des Bildes
‣ H(A|B) ist die bedingte Entropie, basiert auf der bedingten Wahrscheinlichkeit p(b|a)
‣ Wahrscheinlichkeit eines Grauwertes des Pixels b in Bild B, wenn in Bild A der Pixel a
einen bestimmten Grauwert hat
‣ verwendet wird die Entropie von B und die Unsicherheit über B, wenn A bekannt ist, wird
abgezogen
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Registrierung
Mutual Information
‣ → I(A,B) ist die Verringerung der Unsicherheit über B, wenn A gegeben ist
‣ → Bezeichnet die Informationen die A über B enthält
‣ Austauschbar: Menge der Informationen die A über B enthält bzw. Menge der Informationen
die B über A enthält
‣ Ziel:
‣ Maximierung der Mutual Information durch Transformationen
‣ ist das Ziel erreicht, hat jedes Bild eine maximale Information über das andere
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Registrierung
Mutual Information
‣ Form II
‣ Bilder A und B
‣ I bezeichnet wieder die Mutual Information
‣ Idee: gemeinsame Entropie. Diese minimiert sich, wenn die Objekte in den Bildern optimal
aufeinander liegen
‣ Es gilt: I(A,B) = H(A) + H(B) - H(A,B)
‣ H ist dabei die Shannon-Entropie von A bzw. B
‣ H(A,B) ist die „joint entropy“ die beide Bilder gemeinsam enthalten
‣ Shannon Entropie von H(A) und H(B) (niedrig für Hintergrund, hoch für anatomische
Strukturen) wird addiert, die Unsicherheit (Unterschiede durch die Registrierung) wird vom
Gesamten abgezogen
‣ Joint Entropie wird minimiert
‣ somit erhält man die maximal mögliche Information die die beiden Bilder über das jeweils
andere beinhalten
‣ Im Gegensatz zum vorherigen Beispiel werden die Entropien beider Bilder verwendet
‣ Vorteil: Bilder mit großem Hintergrundanteil erzeugen ein „joint histogram“ mit minimaler
Streuung. Durch Nutzung beider Entropien, die sehr gering ausfallen, wird der Fehler der
„joint entropy“ abgefangen
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Registrierung
Mutual Information
‣ Form III: Kullback-Leibler Divergenz
‣ betrachtet wird die Unterschiedlichkeit zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen (p und q)
bzgl. des gleichen Ereignisses
‣ Definition:
∑
i
( )
( )
⎛
p( i)log p i
⎝
⎜ q i
⎞
⎠
⎟
‣
I(A, B) =
∑
a,b
⎛
p( a,b)log
⎝
⎜
( )
( ) p( b)
p a,b
p a
⎞
⎠
⎟
‣ mit p = p(a,b) und q = p(a)p(b)
‣ p(a,b) entspricht den zusammenhängenden Grauwerten beider Bilder
‣ p(a)p(b) entspricht den Grauwerten der Bilder, wenn diese Unabhängig sind
‣ gemessen wird der Abstand (Abhängigkeit) zwischen p und q
‣ Maximale Abhängigkeit zwischen Grauwerten der Bilder, bei guter Registrierung
‣ Fehlregistrierung resultiert in Erhöhung
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Registrierung
Mutual Information
‣ Kullback-Leibler Divergenz (Bezug zu Hartley)
‣ aus der Anzahl von Ereignissen mit gleicher Wahrscheinlichkeit folgte die monoton
wachsende, normierte Funktion H = log m n
‣ Shannon erweiterte die Ereignisse mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten bzw.
Informationsgehalt über die Shannon-Entropie:
−
∑
i
‣ es sei q = (q(1), ..., q(i)) die reelen Grauwertwahrscheinlichkeiten und p = (p(1), ..., p(i))
die errechneten Grauwertverteilungen
‣ Kullback-Leibler Divergenz, in die die Definition der Grauwertvergleiche eingesetzt
wird
p i
log p i
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Registrierung
Mutual Information
‣ Kullback-Leibler Divergenz (Minimierung)
‣ sei E das Maß der Unabhängigkeit der Bilder A und B und deren Zufallsvariablen F und
G
‣ Sei f(x i ) ∼ F, g(x i ) ∼ G, (f(x i ), g(x i )) ∼ (F, G) dann ist T gegeben durch
T * = argmin
T
( ( ))
E f ( x),g T x
( )
‣ hierbei wird die Transformation gefunden, die die Unterschiedlichkeiten zwischen A und
B minimiert
‣ Kullback-Leibler Divergenz (Maximierung)
‣ sei T α die Transformation mit dem Parameter α und I(A, B) die Mutal Information
α * = argmax
α
I(A, B)
‣ so wird α maximiert, dass die Mutual Information zwischen den Bildern maximal wird
‣ die Mutual Information ist also das Maß der Abhängigkeit zwischen zwei Bildern
‣ die Abhängigkeit wird maximal, wenn die Bilder optimal übereinander liegen
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Registrierung
Mutual Information
‣ Eigenschaften der Mutual Information
‣ da die Mutual Information symmetrisch ist gilt:
‣ I(A,B) = I(B,A)
‣ Information von Bild A über Bild B Bild B über Bild A
‣ Implementierung kann zu Unterschieden führen
‣ die Information die Bild A über sich selbst enthält, entspricht der Information die in A
enthalten ist
‣ I(A,A) = H(A)
‣ die Mutual Information von A und B ist kleiner oder gleich der Information, die in den
jeweiligen Einzelbildern enthalten ist
‣ niemals größer!
‣ I(A,B) ≤ H(A)
‣ I(A,B) ≤ H(B)
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Registrierung
Mutual Information
‣ Unsicherheit über A wird durch erlernen von Informationen aus B nicht erhöht
‣ I(A,B) ≥ 0
‣ Wenn A und B unabhängig sind (und nur dann!)
‣ I(A,B) = 0
‣ Es kann keine Information über ein Bild gewonnen werden, wenn das andere gegeben
ist
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Registrierung
Parzen Window
‣ Parzen Window
‣ effiziente Methode zum schätzen der Wahrscheinlichkeiten p(a), p(b) und p(a,b)
‣ Probability Density Function (PDF)
‣ kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsfunktion p(x) mit den Eigenschaften:
‣ die Wahrscheinlichkeit dass x zwischen a und b liegt
b
( ) = p x
P a < x < b
( )dx
‣ nicht negativ für alle reellen x
‣ Integral der Wahrscheinlichkeitsfunktion erfüllt
∫
∞
−∞
p( x)dx = 1
‣ am weitesten verbreitet... Gauss
p( x) =
∫
a
( )2
1
2πσ exp ⎛
⎜ − x − c
⎝ 2σ 2
⎞
⎟
⎠
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Registrierung
Parzen Window
‣ Dichteschätzung
‣ Geg.: n Samples x 1 , ..., x n
‣ die Dichtefunktion p(x) wird so abgeschätzt, dass p(x) für jedes neue Sample x
ausgegeben werden kann → Dichteschätzung (engl. density estimation)
‣ wenn die Wahrscheinlichkeit P, dass ein Vektor in die Region R fällt gegeben ist durch
P = p( x)dx
∫ R
‣ und angenommen wird, dass R so klein ist, dass P(x) in R nicht stark variiert, kann dies
mit dem Volumen von R wie folgt ausgedrückt werden
P =
∫
R
( )
p x
dx ≈ p x
( ) dx
∫
R
= p( x)V
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Registrierung
Parzen Window
‣ wenn n samples (x 1 , ..., x n ) unabhängig verteilt sind entsprechend der PDF p(x) und k samples
von n in der Region R liegen: P = k/n
‣
⇒ p( x) = k n
V
‣ sei R ein Hyperwürfel (engl. Hypercube) zentriert bei x
‣ sei h die Länge der Kante des Hyperwürfels
‣ dann ergibt sich V = h 2 im R 2 und V = h 3 im R 3
( x 1 −h/2, x 2+h/2
)
h
( x 1 +h/2, x 2+h/2
)
x
[Quelle: University of Reading]
( x 1−h/2, x 2−h/2 )
( 1
2
x +h/2, x −h/2 )
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Registrierung
Parzen Window
‣ die Fensterfunktion gibt dabei an ob x i innerhalb des Hyperwürfels liegt oder nicht
φ
x ⎧ x
⎛ i
− x ⎞ 1 ik
− x
⎪
k
≤ 1 2, k = 1,2
⎝
⎜
h ⎠
⎟ = ⎨ h
⎪
⎩ 0 andernfalls
‣ die Anzahl k der samples aus n, die innerhalb der Region R liegen ergibt such aus
n
⎛
k = φ x − x i ⎞
∑
⎝
⎜
h ⎠
⎟
i=1
‣ die Parzen Wahrscheinlichkeits-Dichteschätzung für 2D ist gegeben als
p( x) = k n
V
= 1 n
n
∑
i=1
1
h φ ⎛
2 ⎝
⎜
x i − x
h
⎞
⎠
⎟
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Registrierung
Parzen Window
‣ es können auch andere Fensterfunktionen verwendet werden
‣ z.B. Gauss (1D)
p( x) = 1 n
‣ Durchschnitt von n Gaussfunktionen mit jedem Datenpunkt als Zentrum
‣ Beispiel
n
∑
i=1
( ) 2
1
2πσ exp ⎛
− x − x i
⎜
⎝ 2σ 2
⎞
⎟
⎠
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0.6
0.5
Registrierung
Parzen Window
0.4
0.3
p(x)
0.6
0.2
0.5
0.1
0.4
0
0.3
−0.1
p(x)
0.2
−0.2
0.1
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6
x
0
Figure −0.1 above: The dotted lines are the Gaussian
functions −2 −1 centered 0 1 2 3at 45 data 5 6 points.
−0.2
x
0.6
Figure 0.5 above: The dotted lines are the Gaussian
functions centered at 5 data
0.4
points.
0.3
p(x)
0.6
0.2
0.5
0.1
0.4
0
0.3
−0.1
p(x)
0.2
−0.2
−2 −1 0 1 2 4 5 6
x
0.1
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