Registrierung

Registrierung
Berthold Krevert
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Definition 2
3 Anwendungsfälle 2
4 Verzerrungen und Bildfehler 3
5 Transformationen 4
5.1 Rigide Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5.2 Affine Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5.3 Elastische Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6 Algorithmen 5
6.1 Punktbasierte Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6.2 Surface Matching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6.3 Elastische Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6.4 Intensitätsalgorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6.4.1 Differenzbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7 Literatur 9
1 Einleitung
Moderne Tomographieverfahren wie CT (Computertomographie), MRT (Magnetresonanztomographie),
PET (Positronen-Emissions-Tomographie) oder SPECT (Single-Photonen-
Emissionstomographie) geben dem Mediziner Verfahren zur Hand, um Krankheiten frühzeitig
erkennen und einordnen zu können. Um aus den von den Tomographen gewonnenen
Daten einen möglichst großen Nutzen zu ziehen, ist eine Weiterverarbeitung notwendig.
Zum einen müssen die Daten entsprechend visualisiert werden, zum anderen ist häufig auch
ein Vergleich zwischen verschiedenen Datensätzen notwendig.
Als Beispiel sollen die Aufnahmen auf Abbildung 1 betrachtet werden: Die ersten beiden
Bilder in der oberen Zeile zeigen eine MRT-Aufnahme des menschlichen Kopfes; besonders
gut zu erkennen sind hierbei die Gewebestrukturen. In den beiden rechten Bildern der oberen
Zeile sieht man eine CT-Aufnahme des Kopfes. CT ist ein Röntgenverfahren; daher ist
der Schädelknochen deutlich hervorgehoben. Die vier Bilder zeigen dabei unterschiedliche
Sichtfelder. Sollen die MRT- und die CT-Aufnahmen zusammengefügt - fusioniert - werden
ist erst eine Transformation in ein gemeinsames Koordinatensystem nötig. Die Berechnung
1

Abbildung 1: Oben: MRT- (links) und CT-Bilder (rechts) Unten: Die fusionierten Bilder
dieser Transformation nennt man Registrierung. Das Ergebnis der Fusion ist in der unteren
Zeile zu sehen.
2 Definition
In der Einleitung haben wir ein Beispiel für ein Registrierungsverfahren gesehen. Hier soll
der Begriff ”
Registrierung“ genauer definiert werden: Nach [DLH2000] berechnet eine Registrierung
die räumliche Ausrichtung zweier Bilder, die nötig ist, um diese Bilder miteinander
vergleichen und in dasselbe Koordinatensystem mappen zu können. Registrierung setzt Objekte
in einem Bild A zu Objekten in einem anderen Bild B in Beziehung und gibt eine
Berechnungsvorschrift für eine Transformation von A nach B zurück. Zudem müpssen die
Intensitätswerte der beiden Bilder - die Voxel oder Pixel - angeglichen werden (siehe Abschnitt
6.4).
Formal besprochen bezeichnet eine Registrierung also die Berechnung einer Abbildung:
T : X A → X B
⇐⇒ T (X A ) = X B
Der Punkt X A in Bild A wird also durch die Transformation T auf die entsprechende
Position X B in Bild B gemappt. Die Schwierigkeit ist es sicherlich, die passende Transformation
zu finden, die das eine Bild auf das andere ausrichtet. Für eine vollautomatische
Registrierung müssen innerhalb der Bilder mit stochastischen Modellen, Heuristiken die gemeinsamen
Strukturen gefunden werden. Eine Alternative sind manuelle Registrierungen,
für die ein Benutzer oder ein Arzt die gemeinsamen Punkte angibt.
3 Anwendungsfälle
In diesem Abschnitt gebe ich verschiedene Anwendungsfälle an, in denen eine Registrierung
der Daten und eine Transformation der Bilder nötig ist: Wie bereits im ersten Kapitel
erwähnt, kann es wichtig sein, Aufnahmen verschiedener Eingabegeräte miteinander zu
vergleichen. Dies liegt daran, dass verschiedene Tomographieverfahren auch unterschiedliche
Informationen liefern. Eine CT-Aufnahme bildet sehr gut Strukturen ab, wie man sie

eispielsweise bei Knochen und Muskelgewebe findet. MRT-Aufnahmen eignen sich für Gewebestrukturen;
Knochen werden dabei nicht so gut dargestellt, da Knochen kaum Wasser
enthalten und ein MRT technisch auf bestimmten Eigenschaften von Wasserstoffatomen
aufsetzt. PET-Aufnahmen eignen sich hervorragend um Stoffwechselfunktionen sichtbar zu
machen und sind damit zum Beispiel in der Früherkennung von Tumoren unerlässlich. Um
Körperstrukturen abzubilden sind PET-Aufnahmen nicht so gut geeignet - die genaue Position
der Tumore lässt sich also eher schlecht bestimmen. Wie man sieht, haben die unterschiedlichen
Tomographieverfahren ihre Vor- und Nachteile. Daher versucht man ihre
Stärken miteinander zu kombinieren. Beispiele für typische Fusionen zwischen Bildern zweier
Aufnahmeverfahren sind CT-MRT und CT-PET.
Bei den verschiedenen Aufnahmegeräten spricht man auch von Modalitäten. Eine Modalität
kann also eine CT, eine MRT, eine PET oder auch eine SPECT sein. Da bei dem
oben beschriebenen Verfahren Aufnahmen verschiedener Modalitäten vorliegen, spricht man
auch von Multi-Modalität. Im Gegensatz dazu gibt es Verfahren, die zwei verschiedene
Bilder der gleichen Modalität verwenden - hier spricht man analog von Uni-Modalität.
Ein anderer Anwendungsfall kann darin bestehen, Veränderungen eines Organs, eines Tumors
oder eines anderen Bereiches innerhalb einer Aufnahme sichtbar zu machen. In diesem
Fall müssen verschiedene, über eine bestimmte Zeitspanne gemachte Aufnahmen miteinander
abgeglichen (registriert und transformiert) werden. Dies kann beispielsweise hilfreich
sein, um zu erkennen, ob sich ein Tumor bösartig entwickelt hat, oder um Aufnahmen zu
vergleichen, die vor und nach einer Operation gemacht worden sind.
Diese beiden Beispiele beziehen sich auf Bilder eines einzelnen Patienten. Man spricht in
diesen Fällen von Intrasubjekt-Registrierung. Vergleicht man Datensätze von Bildern, die
von verschiedenen Patienten erstellt wurden, spricht man von Intersubjekt-Registrierung.
Ein Anwendungsfall von Intersubjekt-Registrierung ist die Registrierung einer Patienten-
Aufnahme an einen Atlas. Ein Atlas ist ein abstrakter Patient: Hier hat man Daten von
mehreren Patienten genommen, und deren Mittelwerte berechnet. Man kann sich einen Atlas
also als eine Durchschnittsanatomie vorstellen, die möglichst allgemein gehalten ist und keine
besonderen Merkmale aufweist. Der Nachteil der Intersubjekt-Registrierung sind sicherlich
die oft stark voneinander abweichenden Ausgangsbilder. Da Aufnahmen von zwei verschiedenen
Patienten sehr stark unterscheiden, fällt eine korrekte Registrierung sehr schwer.
Neben der Unterscheidung zwischen Multi- und Unimodalitäten und der Unterscheidung
zwischen Intra- und Intersubjekt-Registrierung, kann man auch nach der Dimension unterscheiden,
in der transformiert wird: Es gibt Transformationen im 2D-Bereich (vor allem bei
Röntgenbildern), im 3D-Bereich (bei Bildern, die von Tomographen erstellt werden), aber
auch zwischen dem 2D- und 3D-Bereich (ein räumliches Tomographiebild, auf das ein Röntgenbild
projiziert wird).
4 Verzerrungen und Bildfehler
Tomographen sind sehr anfällig für Bildfehler, was zu zahlreichen Problemen in der Weiterverarbeitung
führen kann. [DH2000] Fehlerhaft kalibrierte Tomographen führen zu Verzerrungen
im Ausgabebild, zum Beispiel, weil das Koordinatensystem falsch skaliert und
geschert wurde. Es ist zwar möglich, diese geometrischen Fehler zu beheben, in der Praxis
fehlen jedoch meistens die Informationen, die hierfür nötig sind. Diese lassen sich auch nur

sehr schwer berechnen.
Ein weiteres Problem stellen Bewegungen des Patienten während des Aufnahmevorgangs
dar. Hiermit sind nicht einmal nur Bewegungen gemeint, die der Patient macht, um seine
Position zu verändern und die eventuell durch ein Fixieren oder das Verabreichen von Beruhigungsmitteln
gelöst werden könnten, sondern auch solche Bewegungen wie der Herzschlag
oder die Atmung. Aus ihnen resultieren Verschiebungen der einzelnen aufgenommenen Slices
- also der einzelnen Schichten, die das Gesamtbild geben. Die Probleme hierbei sind bisher
nicht zufriedenstellend gelöst und gehören zum wichtigsten Interessensgebiet der Forschung
in diesem Bereich.
Weitere Fehler können in Rauschen oder in Artefakten bestehen und können - wenn
sie nicht zu stark ausfallen - mit Filtern, wie man sie innerhalb der Computergrafik kennt,
behoben werden.
5 Transformationen
Die Registrierung ist eng mit der ihr folgenden Transformation verknüpft. Man unterscheidet
zwischen den allgemeinen affinen Transformationen und den spezielleren rigiden Transformationen.
Zudem gibt es noch elastische Transformationen für stark verzerrte Bilder.
5.1 Rigide Transformationen
Rigide Transformationen ändern nichts an der Struktur des Objektes - sprich: Die Abstände
zwischen sämtlichen Punkte bleiben erhalten. Erlaubt bei einer rigiden Transformation sind
eine Verschiebung (Translation), eine Rotation und eine Spiegelung bzw. eine Kombination
aus diesen drei Transformationen. Man kann sich leicht klar machen, dass sowohl beim Verschieben,
beim Rotieren als auch beim Spiegeln die Punkte auf der Fläche des transformierten
Objektes den gleichen Abstand bewahren. Rigide Transformationen werden immer dann
angewandt, wenn Objekte zu registrieren und transformieren sind, die eine feste Struktur haben
und sich auf den Aufnahmen nur in ihren Positionen und Ausrichtungen unterscheiden.
Formell lässt sich eine rigide Transformation in einer einfachen Formel beschreiben:
X B = R AB X A + t AB
Der Punkt X A im ersten Bild soll also auf den Punkt X B im zweiten Bild gemappt
werden. Dazu wird er passend rotiert und anschließend verschoben.
5.2 Affine Transformationen
Affine Transformationen bezeichnen einen allgemeineren Vorgang. Bei affinen Transformationen
müssen die Abstände zwischen den Punkten nicht erhalten bleiben; wichtig ist es,
dass Linien, die vor der Transformation parallel sind, dies auch nach der Transformation
bleiben. Rigide Transformationen bilden also eine Teilmenge der affinen Transformationen.
Zusätzlich zu Translationen, Rotationen und Spiegelungen, können noch Skalierungen und
Scherungen hinzukommen. Skalierungen vergrößern oder verkleinern das Ausgangsbild, Scherungen
”
klaffen“ es auseinander, erhalten jedoch definitionsgemäß die Parallelität. Wichtig
sind affine Transformationen immer, wenn Gewebe oder andere nicht-rigide Strukturen registriert
werden müssen. Bei zu starken Bildfehlern und Verzerrungen zwischen den Bildern
sind rigide Transformationen dagegen nicht geeignet.

5.3 Elastische Transformationen
Elastische Transformationen sind nicht-affine Transformationen. Sie werden dann eingesetzt,
wenn die beiden Bilder stark verzerrt sind. [Lgb92] beschreibt eine elastische Transformationen
als das Resultat, das entsteht, wenn man elastisches Material deformiert und diese
Deformationen mit der geringstmöglichen Anzahl an Verformungen stattfinden.
Ähnlichkeiten in den Bildern wirken bei elastischen Transformationen als Kraft oder als
Energie, die eines der Bilder so lange verformen, bis es auf das andere gemappt werden kann.
Algorithmen, die elastische Transformationen registrieren und ausführen, suchen nach dem
minimalen Energiezustand, mit dem die Transformation ausgeführt werden kann.
6 Algorithmen
Hier sollen drei Registrierungsverfahren angerissen werden: Eine punktbasierte Methode,
eine Methode für Surface Matching und ein Verfahren für elastische Transformation.
6.1 Punktbasierte Verfahren
Zunächst soll ein punktbasiertes Verfahren für rigide oder affine Transformationen angegeben
werden [MS2003]: Hierfür benötigen wir zwei Punktmengen P = (p 1 , p 2 , ..., p ) und
Q = (q 1 , q 2 , ..., q n ). Die erste Punktmenge verweist auf die Punkte im Eingabebild, die zweite
auf die Punkte im Bild, auf das gemappt werden soll; die in der zweiten Menge enthaltenen
Punkte nennt man Landmarks. Für das vorgestellte Verfahren muss gelten, dass die beiden
Punktmengen gleich groß sind - es gilt also SIZE(P) = SIZE(Q) -, welcher Punkt in dem
einen Bild zu welchem Punkt in dem anderen Bild gehört ist dabei als bekannt vorauszusetzen.
Abbildung 2: Mapping auf die Landmarken
Es lässt sich die Güte einer Registrierung bestimmen: Mappt man die Punkte p i auf die
korrespondierenden Punkte q i , kann man die Fehlerrate messen, d.h. den Abstand, den ein
Punkt p i vom Landmarkenpunkt q i abweicht. In Abbildung 2 sieht man insgesamt vierzehn

Punkte - die blauen Punkte stammen dabei aus der Menge P, die roten aus der Menge Q.
Die Pfeile zwischen den korrespondierenden Punkten geben die Fehler an, also die Abstände
zwischen dem transformierten Punkt p i und dem Landmarkenpunkt q i :
Err = T (p i ) − q i
Eine perfekte Registrierung wäre die, in der jeder Punkt in P ohne Abweichung auf den
korrespondierenden Punkt in Q gemappt werden kann. Hier gilt für alle p i , q i ERR = 0. Somit
lässt sich eine Güte der Registrierung angeben, indem sämtliche Fehlerwerte aufsummiert
und dann gemittelt werden:
MSE = 1 n
n∑
|T (p i ) − q i | 2
i=1
Durch die Quadrierung werden die Fehler mit größeren Werten stärker gewichtet. Das
Ziel der Registrierung ist es, diesen Mean Square Error (MSE) zu minimieren.
Abbildung 3: Korrespondierende Landmarken
Abbildung 3 zeigt zwei Vierecke, die jeweils einen Ausschnitt der beiden zu registrierenden
Bilder repräsentieren. Punkte grenzen diese Vierecke ab; dabei korrespondiert der
linke obere Punkt des ersten Bildauschnitts mit dem linken oberen Punkte des zweiten
Bildauschnitts, usw. ... Nun fehlt noch eine Berechnungsvorschrift, wie die Pixel oder Voxel
der beiden Bildauschnitte transformiert werden sollen. [GW1992] verwendet als Beispiel
für eine Berechnungsvorschrift zwei bilineare Gleichungen, die die geometrische Verzerrung
modellieren:
ˆx = c 1 x + c 2 y + c 3 xy + c 4
ŷ = c 5 x + c 6 y + c 7 xy + c 8
Dabei sind x und y die Koordinaten aus dem ersten Bild, die in die Koordinaten ˆx und
ŷ des zweiten Bildes transformiert werden sollen. Wie können wir nun die Koeffizienten c 1
bis c 8 bestimmen? Dafür haben wir die Landmarken bzw. Markierungspunkte: Wir müssen
die erste Punkt-Koordinate des ersten Vierecks in die beiden Gleichungen für x und y einsetzen;
dann betrachten wir, auf welchen Punkt im zweiten Bild gemappt werden soll und
tragen die entsprechenden Koordinatenwerte für ˆx und ŷ ein. Mit den drei verbleibenden
Markierungspunkten verfahren wir analog. Dann können wir das Gleichungssystem für die

Koeffizienten auflösen. Sobald wir die Koeffizienten kennen, können wir sämtliche Pixel innerhalb
der Vierecke transformieren. Um das gesamte Bild zu transformieren, benötigen wir
ausreichend Punkte, um die beiden Bilder vollständig mit Vierecken abzudecken, für die
dann jeweils eigene Koeffizienten berechnet werden.
Es gibt zwei Möglichkeiten, Markierungspunkte bzw. Landmarken zu setzen. In vielen
Fällen geschieht dies manuell, d. h. ein Arzt oder ein anderer Fachmann muss die Landmarken
per Hand eingeben. Allerdings gibt es für bestimmte Konfigurationen auch automatisierte
Verfahren und auf die Konfigurationen abgestimmte Heuristiken.
6.2 Surface Matching
Oberflächen (oder Grenzen zwischen Oberflächen) stechen deutlicher hervor als Landmarken:
Wenn die Kontraste zwischen den Oberflächen groß genug sind, können Segmentierungsalgorithmen
diese erkennen. Dies gilt vor allem für die Oberfläche der Haut, für deren
Registrierung Surface Matching optimal ist. Nachfolgend sei der in [DLG2000] angegebene
Algorithmus Head&Hat vorgestellt:
Der Algorithmus bekommt als Eingabe ein hochauflösendes Bild von einem Tomographen
(Head) und eine dazu passende Punktmenge (Hat) - wobei die Punkte nicht miteinander
verbunden sind -, und führt iterativ rigide Transformationen der Punktmenge aus. Dies
macht er solange, bis die ”
beste Position“ gefunden ist, die die Punktmenge (Hat) mit dem
hochauflösenden Bild (Head) verbindet. Die ”
beste Position“ ist dabei die Position, die das
Quadrat des Abstandes zwischen den einzelnen Punkten aus der Punktmenge und dem
einzelnen Punkt an der Oberfläche des Bildes minimiert. In der Iteration verwendet der Algorithmus
eine Optimierung, die die Punktmenge in jeder Iteration verschiebt. Er bricht ab,
wenn in einer Iteration - abhängig von einer Fehlertoleranz - keine bessere Lösung gefunden
werden kann.
6.3 Elastische Transformationen
Elastische Transformationen verformen ein Bild so, dass es in ein zweites gemappt werden
kann. Dies sollte mit einer möglichst geringen Anzahl an Verformungen geschehen. Die Verformungen
bzw. Ähnlichkeiten zwischen den beiden Bildern, die zu Verformungen führen,
werden als Energie gemessen. Damit suchen Algorithmen, die elastische Transformationen
berechnen, nach möglichst geringen Energiezuständen, mit denen die Transformation ausgeführt
werden kann.
Eine Methode für eine automatische elastische Transformation stammt von Burr [LB1992].
Das Verfahren ist besonders geeignet für handgezeichnete Bilder, da diese aus scharf abgegrenzten
Kanten bestehen, Burr hat es aber auch erfolgreich auf zwei Bildern ausgeführt,
auf denen der Kopf eines Mädchens einmal mit geöffnetem und einmal mit geschlossenem
Mund zu sehen ist. Der Algorithmus arbeitet iterativ: In jeder Iteration schaut er sich eine
Kante (oder ein Objekt) in dem einen Bild und seinen nächsten Nachbar im zweiten an.
Dann werden die beiden Kanten (oder Objekte) zusammengefügt ( ”
Smooth Composite“).
Ebenfalls betrachtet werden müssen die Nachbarn, die - je nach Abstand -, ebenfalls zu
formieren sind. Nach jedem Iterationsschritt sind die beiden Bilder näher zusammen, bis sie
dann mit der gewünschten Genauigkeit aufeinander gemappt sind.

6.4 Intensitätsalgorithmen
In Abschnitt 6.1 habe ich ein punktbasiertes Verfahren zum Registrieren und abschließendem
Transformieren vorgestellt. Das Verfahren liefert jedoch lediglich eine räumliche Aussage,
also wohin ein Pixel transformiert werden soll - und nicht, welchen Farbwert es erhält. Zur
Erinnerung gebe ich noch einmal die in Abschnitt 6.1 verwendeten bilinearen Gleichungen
an:
ˆx = c 1 x + c 2 y + c 3 xy + c 4
ŷ = c 5 x + c 6 y + c 7 xy + c 8
Wie man leicht erkennen kann, können - je nach den verwendeten Koeffizienten c 1 bis c 8
- für ˆx und ŷ Werte mit Nachkomma-Anteil herauskommen. Mit anderen Worten: Es kann
passieren, dass für ˆx und ŷ keine konkreten Farbwerte definiert sind. Der Algorithmus muss
in diesem Fall die nächsten ganzzahligen Werte betrachten und den Farbwert dieser Koordinate
übernehmen. Diese naive Verfahren ist in [GW1992] als Zero-Order Interpolation
beschrieben: Im ersten Schritt berechnet der Algorithmus die Werte für ˆx und ŷ, im zweiten
Schritt wählt der Algorithmus den nächsten ganzzahligen Nachbar von (ˆx, ŷ) und färbt im
dritten Schritt das Pixel entsprechend.
Leider erscheint dem Betrachter das Ausgabebild, das dieses Verfahren erstellt, oft sehr
pixelig oder kantig. Darum verwendet man häufig eine bilineare Interpolation, die einen guten
Kompromiss zwischen Bildqualität und Laufzeit darstellt. Die bilineare Interpolation
betrachtet nicht einen Nachbarpixel, sondern vier. Zum Interpolieren verwendet der Algorithmus
die folgende bilineare Gleichung:
v(ˆx, ŷ) = aˆx + bŷ + cˆxŷ + d
Dabei können die vier Koeffizienten a, b, c, d mit Hilfe der vier Gleichungen berechnet
werden, die beim Einsetzen der vier Nachbarkoordinatenwerte von (ˆx, ŷ) entstehen. Damit
berechnen wir die Koordinate v(ˆx, ŷ) und betrachten den hierzu korrespondieren Farbwert im
Ausgangsbild. Der Rest des Algorithmus verhält sich analog zur Zero-Order Interpolation:
Es muss nun noch der Farbwert gesetzt werden.
6.4.1 Differenzbilder
Die Güte der Registrierung kann mit Hilfe von Differenzbildern betrachtet werden: Differenzbilder
sind Bilder, die entstehen, wenn man zwei unterschiedliche Bilder übereinanderlegt
und die einzelnen Farbwerte subtrahiert. Hat man zwei Pixel mit dem gleichen (hier:
Graustufen-)Farbwert, ist die Differenz der beiden Pixel Null, d. h. das entsprechende Pixel
im Differenzbild ist schwarz. Unterscheiden sich die Pixel stark voneinander ist ihr Wert im
Differenzbild entsprechend hell.
Differenzbilder zwischen zwei von Tomographen gemachten Aufnahmen lassen sich folgendermaßen
interpretieren: Falls sich nur etwas Rauschen im Differenzbild befindet, unterscheiden
sich die beiden Aufnahmen nur um einen Störfaktor. Sind dagegen viele Strukturen
im Differenzbild erkennbar, kann man von einigen Unterschieden in den Aufnahmen ausgehen.
Sind dagegen Artefakte sichtbar, kann man eventuell von einer fehlerhaften Registrierung
ausgehen.

Optimal ist es, die Bilder so zu registrieren, dass sich möglichst wenig Artefakte im
Differenzbild befinden, diese Formel also minimiert wird:
SSD = 1 n
n∑
|A(x i ) − B T (x i )| 2
i=1
Dabei ist A(x i ) der Itensitätswert im ersten Bild und B T (x i ) der Itensitätswert des
transformierten Pixels im zweiten Bild.
7 Literatur
[AFP1999] Michel A. Audette, Frank P. Ferrie, Terry M. Peters, 1999. An algorithmic overview
of surface registration techniques for medical imaging, Medical Image Analysis 4 (2000)
Seite 201-217
[DH2000] Derek L. G. Hill, Philipp G. Batchelor, Mark Holden and David J Hawkes,
2000. Medical image registration. Radiological Sciences, King’s College London.
[LB1992] Lisa Gottesfeld Brown, 1992. A Survey of Image Registration Techniques, In:
ACM Computing Surveys,VoI 24, No. 4, December1992, Seite 326-359
[MS2003] Julian Mattes, Rainer Schubert, Medizinische Bildverarbeitung 2,Institut für
Medizinische Wissensrepräsentation und Visualisierung
[GW1992] Rafael C. Gonzalez, Richard E. Woods, 1992, Digital Image Processing, Addison-
Wesley-Verlag, Seite 246-250