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2. XVII. Kugeln, Kugeln Geraden und Ebenen 479
Überblick
Vektorgleichung der Kugel:
Eine Kugel K mit dem Mittelpunkt Mðm 1 jm 2 jm 3 Þ
und dem Radius r hat die Gleichung:
K: j~x ~mj¼r oder K: ð~x ~mÞ 2 ¼ r 2
Koordinatengleichung der Kugel:
K: ðx m 1 Þ 2 þðy m 2 Þ 2 þðz m 3 Þ 2 ¼ r 2 x
Relative Lage von Kugel und Gerade:
Eine Gerade g im Raum kann Passante, Tangente
oder Sekante einer gegebenen Kugel sein.
Man prüft dies durch Einsetzen der Geradenkoordinaten
in die Kugelgleichung.
Relative Lage von Kugel und Ebene:
Um die gegenseitige Lage der Kugel K (Mittelpunkt M, Radius r) und der Ebene E zu bestimmen,
berechnet man den Abstand d des Kugelmittelpunktes von der Ebene E.
1. Fall: kein Schnittpunkt 2. Fall: Berührpunkt 3. Fall: Schnittkreis
z
Sekante
K
x
m
X
M
Tangente
Passante
y
r
M
d
E
F
r
M
d
E
F
r
M
d
F
E
Ist d > r, so schneiden sich Ebene
E und Kugel K nicht.
Der Lotfußpunkt F hat den kleinsten
Abstand zur Kugel K.
Ist d ¼ r, so berührt die Ebene E
die Kugel K im Fußpunkt F des
Lotes von M auf E.
E ist eine Tangentialebene von K.
Ist d < r, so schneidet die Ebene E
die Kugel K in einem Kreis k 0 ,
den man als Schnittkreis von Kugel
und Ebene bezeichnet.
Schnittkreis von Kugel und Ebene:
Ist der Abstand d ¼jFMj einer Ebene vom Mittelpunkt M einer Kugel kleiner als derenpRadius r,
so ist das Schnittgebilde ein Kreis k 0 mit dem Mittelpunkt M 0 ¼ F und dem Radius r 0 ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r 2 d 2 .
Die Koordinaten von M 0 berechnet man mit einem Lotfußpunktverfahren.
(Das gesamte Berechnungsverfahren ist auf den Seiten 186–187 detailliert dargestellt.)
Tangentialebene einer Kugel:
Die Tangentialebene E, die die Kugel K um den
Mittelpunkt M in Punkt B berührt, hat die Gleichung:
E: ð~x ~bÞð~b ~mÞ¼0.
x
z
x
X
b
m
M
B
K
E
y