Download (PDF: 6.1 MB)
Download (PDF: 6.1 MB) Download (PDF: 6.1 MB)
476 XVII. Kugeln E. Zusammengesetzte Aufgaben 1. Kugel und Ebene K E K' Gegeben sind die Kugel K um den Mittelpunkt Mð2j2j2Þ mit dem Radius M' M r ¼ 5 sowie die Ebene E: 2x y þ 2z¼ 11. a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Kugel K. r' g r . M' b) Welchen Abstand hat der Kugelmittelpunkt M von der Ebene E? M d c) Begründen Sie mit dem Ergebnis von b), dass K und E sich schneiden. d) Wie lautet die Gleichung der Geraden g, welche durch M geht und senkrecht auf E steht? Bestimmen Sie den Mittelpunkt M 0 des Schnittkreises als Schnittpunkt von g und E. e) Bestimmen Sie den Radius r 0 des Schnittkreises anhand der Vorergebnisse und der Abbildung. Schnittkreis K' 2. Kugel und Tangentialebene F Gegeben sind die Kugel K um den Mittelpunkt Mð2j2j0Þ mit dem Radius F ' r ¼ 5 sowie der Punkt Pð2j6j3Þ. P M a) Zeigen Sie, dass der Punkt P auf der Kugel liegt. P' b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene F, welche die Kugel in P berührt. M* K* c) Wie lautet die Gleichung einer zweiten Tangentialebene F 0 , die parallel K M F zu F ist? Wo berührt sie die Kugel? d) Die Kugel K wird an der Ebene F gespiegelt. Wie lautet die Gleichung der Spiegelkugel K*? 3. Eine kugelförmige Beobachtungsstation mit einem Durchmesser von 10 m und dem Mittelpunkt Mð0j0j12Þ wird von vier Stahlstützen wie dargestellt getragen. Die Stahlstützen verlaufen in Richtung der Kanten einer quadratischen Pyramide mit der Spitze M. a) Wo sind die Sützen mit der Kugel verbunden? b) In 16 m Höhe über dem Erdboden befindet sich die oberste Geschossebene der Station. Welche Grundfläche hat dieses Geschoss? −9 x 9 z −9 9 y
2. Kugeln, Geraden und Ebenen 477 4. Gegeben sind die Ebene E: 2xþ3yþ6z¼29, die Kugel K: ðxþ2Þ 2 þðy 5Þ 2 þðz 3Þ 2 ¼196 sowie die Punkte Pð 2j7j23Þ und Qð4j9j15Þ. a) Bestimmen Sie den Abstand d des Kugelmittelpunktes M von der Ebene E. Welche gegenseitige Lage von E und K ergibt sich hieraus? b) Gesucht sind der Mittelpunkt M 0 und der Radius r 0 des Schnittkreises k 0 von E und K. c) Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden zu E parallelen Tangentialebenen E 1 und E 2 der Kugel K. d) Die Gerade h durch die Punkte P und Q durchdringt die Kugel K. Wie lang ist die Durchdringungsstrecke AB? e) Es gibt zwei Ebenen F 1 und Fp 2 , ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi die parallel zur Ebene E verlaufen und die Kugel in Schnittkreisen mit dem Radius 183,75 schneiden. Bestimmen Sie Gleichungen von F 1 und F 2 . 5. Ein Hersteller von Kugellagern hat auf dem geneigten Dach seiner Fabrikationshalle z ein riesiges Kugelmodell auf- gestellt. Die Dachfläche kann durch die Ebene E: x þ 2yþ 2z¼ 10 beschrieben C werden. a) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte A, B, C der Ebene E. B y b) Weisen Sie nach, dass der Punkt F Fð2j4j0Þ der Fußpunkt des Lotes vom Punkt C auf die Gerade g AB x durch die Punkte A und B ist. A c) Ein Kugelmodell mit r ¼ 3 m ist im Punkt C tangential an der Ebene E fixiert. Bestimmen Sie den Kugelmittelpunkt M. d) Beim Austauschen der Kugel rollt sie auf der Geraden g CF durch die Punkte C und F die Ebene E hinab. Auf welcher Geraden h bewegt sich dabei ihr Mittelpunkt? e) Die Kugel setzt schließlich auf der x-y-Ebene auf. Wie lauten die Koordinaten des Aufsetzpunktes? 6. Gegeben sind die Kugel K: ðx 2Þ 2 þy 2 þðz 2Þ 2 ¼ 25 sowie die Ebene E: 2x 2yþz ¼ 15. a) Weisen Sie nach, dass die Ebene E die Kugel K schneidet. b) Bestimmen Sie den Mittelpunkt M 0 und den Radius r 0 des Schnittkreises k 0 von E und K. c) Gesucht ist die Gleichung einer zweiten Kugel K*, die den gleichen Radius wie K besitzt und E ebenfalls im Schnittkreis k 0 schneidet. d) Prüfen Sie, ob eine der beiden Kugeln K oder K* den Ursprung enthält. e) Bestimmen Sie z so, dass der Punkt Pð2j3jzÞ auf der Kugel K liegt. f) Gesucht ist derjenige Punkt A der Kugel K, welcher den geringsten Abstand zur Ebene F: 8x þ 6z¼ 103 besitzt. Welcher Ebenenpunkt B von F liegt dem Punkt A am nächsten?
- Seite 43 und 44: 3. 5. Die Kurvendiskussionen Ableit
- Seite 45 und 46: IX. Logarithmusfunktion 269 Überbl
- Seite 47 und 48: X. Weiterführung der Integralrechn
- Seite 49 und 50: 1. Das Volumen von Rotationskörper
- Seite 51 und 52: 1. Das Volumen von Rotationskörper
- Seite 53 und 54: 1. Das Volumen von Rotationskörper
- Seite 55 und 56: 2. Uneigentliche Integrale 279 Im o
- Seite 57 und 58: 2. Uneigentliche Integrale 281 Typ
- Seite 59 und 60: 2. Uneigentliche Integrale 283 Übu
- Seite 61 und 62: 3. Numerische Integrationsverfahren
- Seite 63 und 64: 3. Numerische Integrationsverfahren
- Seite 65 und 66: 3. Numerische Integrationsverfahren
- Seite 67 und 68: 3. Numerische Integrationsverfahren
- Seite 69 und 70: 3. Numerische Integrationsverfahren
- Seite 71 und 72: 3. X. Numerische Weiterführung Int
- Seite 73 und 74: XIV. Skalarprodukt und Vektorproduk
- Seite 75 und 76: 5. Das Vektorprodukt 391 c ........
- Seite 77 und 78: 5. Das Vektorprodukt 393 C. Exkurs:
- Seite 79 und 80: 5. Das Vektorprodukt 395 Übungen 1
- Seite 81 und 82: XIV. 5. DasSkalarprodukt Vektorprod
- Seite 83 und 84: XVII. Kugeln Auch Kugeln im Raum k
- Seite 85 und 86: 1. Kugelgleichungen 467 c .........
- Seite 87 und 88: 2. Kugeln, Geraden und Ebenen 469 2
- Seite 89 und 90: 2. Kugeln, Geraden und Ebenen 471 .
- Seite 91 und 92: 2. Kugeln, Geraden und Ebenen 473 .
- Seite 93: 2. Kugeln, Geraden und Ebenen 475 1
- Seite 97 und 98: 2. XVII. Kugeln, Kugeln Geraden und
- Seite 99 und 100: XXII. Die Normalverteilung Die wich
- Seite 101 und 102: 1. Die Normalverteilung 601 Wird de
- Seite 103 und 104: 1. Die Normalverteilung 603 c .....
- Seite 105 und 106: 1. Die Normalverteilung 605 Möchte
- Seite 107 und 108: 2. Anwendung der Normalverteilung 6
- Seite 109 und 110: 2. Anwendung der Normalverteilung 6
- Seite 111 und 112: 2. Anwendung der Normalverteilung 6
- Seite 113 und 114: 2. XXII. Anwendung Die Normalvertei
- Seite 115 und 116: Tabellen zur Stochastik 715 Tabelle
2. Kugeln, Geraden und Ebenen 477<br />
4. Gegeben sind die Ebene E: 2xþ3yþ6z¼29, die Kugel K: ðxþ2Þ 2 þðy 5Þ 2 þðz 3Þ 2 ¼196<br />
sowie die Punkte Pð 2j7j23Þ und Qð4j9j15Þ.<br />
a) Bestimmen Sie den Abstand d des Kugelmittelpunktes M von der Ebene E.<br />
Welche gegenseitige Lage von E und K ergibt sich hieraus?<br />
b) Gesucht sind der Mittelpunkt M 0 und der Radius r 0 des Schnittkreises k 0 von E und K.<br />
c) Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden zu E parallelen Tangentialebenen E 1 und E 2 der<br />
Kugel K.<br />
d) Die Gerade h durch die Punkte P und Q durchdringt die Kugel K.<br />
Wie lang ist die Durchdringungsstrecke AB?<br />
e) Es gibt zwei Ebenen F 1 und Fp<br />
2 , ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi die parallel zur Ebene E verlaufen und die Kugel in<br />
Schnittkreisen mit dem Radius 183,75 schneiden.<br />
Bestimmen Sie Gleichungen von F 1 und F 2 .<br />
5. Ein Hersteller von Kugellagern hat auf<br />
dem geneigten Dach seiner Fabrikationshalle<br />
z<br />
ein riesiges Kugelmodell auf-<br />
gestellt. Die Dachfläche kann durch die<br />
Ebene E: x þ 2yþ 2z¼ 10 beschrieben<br />
C<br />
werden.<br />
a) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte<br />
A, B, C der Ebene E.<br />
B y<br />
b) Weisen Sie nach, dass der Punkt<br />
F<br />
Fð2j4j0Þ der Fußpunkt des Lotes<br />
vom Punkt C auf die Gerade g AB<br />
x<br />
durch die Punkte A und B ist.<br />
A<br />
c) Ein Kugelmodell mit r ¼ 3 m ist im Punkt C tangential an der Ebene E fixiert. Bestimmen<br />
Sie den Kugelmittelpunkt M.<br />
d) Beim Austauschen der Kugel rollt sie auf der Geraden g CF durch die Punkte C und F die<br />
Ebene E hinab. Auf welcher Geraden h bewegt sich dabei ihr Mittelpunkt?<br />
e) Die Kugel setzt schließlich auf der x-y-Ebene auf. Wie lauten die Koordinaten des Aufsetzpunktes?<br />
6. Gegeben sind die Kugel K: ðx 2Þ 2 þy 2 þðz 2Þ 2 ¼ 25 sowie die Ebene E: 2x 2yþz ¼ 15.<br />
a) Weisen Sie nach, dass die Ebene E die Kugel K schneidet.<br />
b) Bestimmen Sie den Mittelpunkt M 0 und den Radius r 0 des Schnittkreises k 0 von E und K.<br />
c) Gesucht ist die Gleichung einer zweiten Kugel K*, die den gleichen Radius wie K besitzt<br />
und E ebenfalls im Schnittkreis k 0 schneidet.<br />
d) Prüfen Sie, ob eine der beiden Kugeln K oder K* den Ursprung enthält.<br />
e) Bestimmen Sie z so, dass der Punkt Pð2j3jzÞ auf der Kugel K liegt.<br />
f) Gesucht ist derjenige Punkt A der Kugel K, welcher den geringsten Abstand zur Ebene<br />
F: 8x þ 6z¼ 103 besitzt. Welcher Ebenenpunkt B von F liegt dem Punkt A am nächsten?
Change language