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XVII. Kugeln
E. Zusammengesetzte Aufgaben
1. Kugel und Ebene
K
E K'
Gegeben sind die Kugel K um den Mittelpunkt
Mð2j2j2Þ mit dem Radius
M'
M
r ¼ 5 sowie die Ebene
E: 2x y þ 2z¼ 11.
a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung
der Kugel K.
r' g
r .
M'
b) Welchen Abstand hat der Kugelmittelpunkt
M von der Ebene E?
M
d
c) Begründen Sie mit dem Ergebnis
von b), dass K und E sich schneiden.
d) Wie lautet die Gleichung der Geraden
g, welche durch M geht und
senkrecht auf E steht?
Bestimmen Sie den Mittelpunkt M 0 des Schnittkreises als Schnittpunkt von g und E.
e) Bestimmen Sie den Radius r 0 des Schnittkreises anhand der Vorergebnisse und der Abbildung.
Schnittkreis K'
2. Kugel und Tangentialebene
F
Gegeben sind die Kugel K um den Mittelpunkt
Mð2j2j0Þ mit dem Radius
F '
r ¼ 5 sowie der Punkt Pð2j6j3Þ.
P
M
a) Zeigen Sie, dass der Punkt P auf der
Kugel liegt.
P'
b) Bestimmen Sie die Gleichung der
Tangentialebene F, welche die Kugel
in P berührt.
M*
K*
c) Wie lautet die Gleichung einer zweiten
Tangentialebene F 0 , die parallel
K M
F
zu F ist?
Wo berührt sie die Kugel?
d) Die Kugel K wird an der Ebene F gespiegelt. Wie lautet die Gleichung der Spiegelkugel
K*?
3. Eine kugelförmige Beobachtungsstation mit einem
Durchmesser von 10 m und dem Mittelpunkt
Mð0j0j12Þ wird von vier Stahlstützen wie dargestellt getragen.
Die Stahlstützen verlaufen in Richtung der Kanten
einer quadratischen Pyramide mit der Spitze M.
a) Wo sind die Sützen mit der Kugel verbunden?
b) In 16 m Höhe über dem Erdboden befindet sich die
oberste Geschossebene der Station. Welche Grundfläche
hat dieses Geschoss?
−9
x
9
z
−9
9
y