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2. Kugeln, Geraden und Ebenen 473
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Der Berührpunkt B ist der Schnittpunkt
der Lotgeraden g von M auf E. Als Stützvektor
von g verwenden wir den Ortsvektor
von M und als Richtungsvektor einen
Normalenvektor von E.
Die Schnittpunktberechnung erfolgt durch
Einsetzung der Koordinaten von g in die
Koordinatengleichung von E.
c Resultat: Bð 4j8j 2Þ
c
c
Lotgerade g von M auf E:
! !
g: ~x ¼ 2 2
2 þ s 2
1
1
Schnittpunkt von g und E:
2 ð2 2sÞþ2 ð2 þ 2sÞ ð1 sÞ¼26
) s=3
) Bð 4j8j 2Þ
Übung 4
Betrachtet werden die Kugel K um den Mittelpunkt M mit dem Radius r sowie der Punkt B.
Zeigen Sie, dass B auf K liegt, und bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene E, welche
die Kugel K in B berührt. p
a) Mð 1j 2j1Þ,r¼ ffiffi
6 ,Bð0j0j2Þ b) Mð5j1j 2Þ,r¼ 6, Bð7j5j2Þ
Übung 5
Gesucht ist der Berührpunkt B der Kugel K um den Mittelpunkt M mit ihrer Tangentialebene E.
a) Mð1j1j 2Þ,E:2xþ 3y 6z¼ 81 b) Mð 1j 1j2Þ,E:2x y þ z ¼ 13
Beispiel: Zu einer Ebene parallele
Tangentialebenen
Gegeben sind die Kugel K um den
Mittelpunkt Mð2j1j0Þ mit dem
Radius r ¼ 6 sowie die Ebene
E: 2x y þ 2z¼ 30. Wie lauten die
Gleichungen der beiden Tangentialebenen
von K, die zu E parallel sind?
Lösung:
Wir bestimmen zunächst eine Gleichung
der zur Ebene E orthogonalen Geraden g,
die durch den Kugelmittelpunkt M geht
(Stützvektor: Ortsvektor von M, Richtungsvektor:
Normalenvektor von E).
Die Schnittpunkte B 1 und B 2 dieser Lotgeraden
mit der Kugel sind die Berührpunkte
der gesuchten Tangentialebenen an die
Kugel. Wir errechnen sie durch Einsetzen
der allgemeinen Koordinaten von g in die
Kugelgleichung.
Die Tangentialebenen E 1 und E 2 besitzen
den gleichen Normalenvektor wie E und
enthalten die Punkte B 1 bzw. B 2 , was auf
die rechts dargestellten Gleichungen führt.
n
B 1
E
M 1
B 2
E 2
Lotgerade g von M auf E:
! !
g: ~x ¼ 2 2
1 þ s 1
0
2
Gleichung der Kugel K:
K: ðx 2Þ 2 þðy 1Þ 2 þ z 2 ¼ 36
Schnittpunkte von g und K:
ð2 þ 2s 2Þ 2 þð1 s 1Þ 2 þð2sÞ 2 ¼ 36
9s 2 ¼ 36
s ¼ 2: B 1 ð6j 1j4Þ
s ¼ 2: B 2 ð 2j3j 4Þ
Tangentialebenen:
E 1 :2x y þ 2z¼ 21
E 2 :2x y þ 2z¼ 15
E
473-1