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XVII. Kugeln
D. Tangentialebenen
Besitzen eine Ebene E und eine Kugel K nur genau einen gemeinsamen Punkt B, so bezeichnet
man die Ebene E als Tangentialebene von K im Punkt B. Der Punkt B heißt Berührpunkt von
E und K.
Der Vektor ƒ! BX, der vom Berührpunkt B zu
einem beliebigen Ebenenpunkt X führt, ist
ƒ!
orthogonal zum Radiusvektor MB . Es gilt
also: ƒ! ƒ!
BX MB ¼0 bzw. ð~x ~bÞð~b ~mÞ¼0.
Gleichung der Tangentialebene
Die Tangentialebene E, welche die Kugel
K um den Mittelpunkt M im Punkt B
berührt, hat die Gleichung
E: ð~x ~bÞð~b ~mÞ¼0.
x
z
x
X
b
m
M
B
K
E
y
c
................................................. .................................................
c
c
.
Beispiel: Gleichung einer Tangentialebene
Gegeben ist die Kugel K um den Mittelpunkt Mð4j2j3Þ mit dem Radius r ¼ 3.
Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene E, welche die Kugel im Punkt Bð3j0j5Þ
berührt?
Lösung:
Wir setzen in die allgemeine Tangentialebenengleichung
E: ð~x ~bÞð~b ~mÞ¼0
die Ortsvektoren des Berührpunktes B
und des Mittelpunktes M ein. Auf diese
Weise erhalten wir die rechts dargestellte
Normalengleichung, die wir in eine Koordinatengleichung
umwandeln können.
" !#
" ! !#
3 3 4
E: ~x 0 0 2 ¼ 0
5 5 3
" !#
!
E: ~x ¼ 0
3
0
5
1
2
2
E: x 2yþ 2z¼ 7
Normalengleichung
Koordinatengleichung
Beispiel: Berechnung des Berührpunktes
Weisen Sie nach, dass die Ebene E: 2xþ 2y z ¼ 26 eine Tangentialebene der Kugel K
um den Mittelpunkt Mð2j2j1Þ mit dem Radius r ¼ 9 ist.
Bestimmen Sie den Berührpunkt B von E und K.
Lösung:
Wir stellen eine Hesse’sche Normalengleichung
von E auf und errechnen durch
Einsetzung des Ortsvektors von M den Abstand
d von M zur Ebene E.
Wir erhalten d ¼ 9. Da dies genau der Radius
r ¼ 9 ist, handelt es sich bei der Ebene
E um eine Tangentialebene zur Kugel K.
Hessesche
"
Normalengleichung
!#
!
von E:
E: ~x ¼ 0
0
0
26
Abstand " !
von M und
!#
E:
d:
2
2
1
0
0
26
2=3
2=3
1=3
2=3
2=3
1=3
!
¼ 9