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1. 2. Die Produktintegration Substitutionsmethode
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.......................................................................... .........
c
c
c
Die Resubstitution z ¼ 4xþ 1 liefert nun
eine Stammfunktion unseres Ausgangsintegranden,
womit die Aufgabe gelöst ist.
ð4Þ Resubstitution: z ¼ 4xþ 1
ð
ð4xþ 1Þ 3 dx ¼ 1 16 ð4xþ 1Þ4 þ C
Es kommt also darauf an, einen geeigneten Teilterm des Integranden so geschickt zu substituieren,
dass das Ausgangsintegral in ein einfacheres Integral umgewandelt wird.
Übung 1
Berechnen Sie das unbestimmte Integral mithilfe der Substitutionsmethode.
a)
ð
ð2xþ 1Þ 3 dx b)
ð
cosð4xÞdx c)
Typ 2: Substitution der Integrationsvariablen
ð
4
dx d)
ð5 3xÞ 2
ð
1
Beispiel: Gesucht ist das unbestimmte Integral) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
dx, 0 < x < 1.
Lösung:
Hier könnte man zunächst die Substitutionen
z ¼ x 2 ,z¼ 1 x 2 oder z ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 x 2
p
versuchen. Keine führt zum Ziel.
Wenn man allerdings die Integrationsvariable
x selbst durch den Term sin z substituiert
und das Differential dx dementsprechend,
so hat man Erfolg. Dann vereinfacht
sich das Ausgangsintegral nach
Anwendung des trigonometrischen Pythagoras
in verblüffender Weise.
Abschließend müssen wir mithilfe der
Umkehrfunktion des Sinus die Substitution
rückgängig machen.
Wir erhalten als Resultat die nebenstehende
wichtige Integrationsformel.
1 x 2
ð
sin 5 x cos x dx
(1) Substitution: x ¼ sin z, 0 < z < p 2
(2) Differentiale: x 0 ¼ dx
dz ¼ cos z
dx ¼ cos z dz
(3) Einsetzen von (1) und (2):
ð
ð
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
1
dx ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
cos z dz
¼
¼
1 x
ð
2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
cos 2 z
ð
dz ¼ z þ C
1 sin 2 z
ð
cos z dz ¼
1
cos z
(4) Resubstitution : z ¼ arcsin x
ð
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
dx ¼ arcsin x þ C
1 x 2
cos z dz
Übung 2
Berechnen Sie das unbestimmte Integral. Wenden Sie die Variante der Substitutionsmethode an,
bei der die Integrationsvariable x selbst durch einen geeigneten Term substituiert wird.
ð
x
aÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
dx ð0 < x < 1Þ Substituieren Sie x so durch einen trigonometrischen Term, dass die
1 x 4
Wurzel wegf€allt:
ð
x
bÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
dx ð0 < x < 1Þ Substituieren Sie x so durch einen quadratischen Term, dass die Wurzel
1 x
wegf€allt:
* Die Umkehrfunktion der Sinusfunktion ist die Arkussinusfunktion (arcsin). Auf einigen Taschenrechnern
gibt es dafür die Taste sin 1 .