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2. Kugeln, Geraden und Ebenen 471
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Der Radius r 0 des Schnittkreises k 0 von Kugel
und Ebene kann mithilfe des Satzes von
Pythagoras errechnet werden, was aus der
nebenstehenden Grafik ersichtlich ist:
ðr 0 Þ 2 p
¼ r 2 d 2 . Wir erhalten r 0 ¼ ffiffi
5 .
Der Mittelpunkt M 0 des Schnittkreises k 0
ist der Fußpunkt des Lotes von M auf die
Ebene E.
Als Stützpunkt der Lotgeraden g können
wir den Mittelpunkt M verwenden und
als Richtungsvektor einen Normalenvektor
~n der Ebene. Dies führt auf:
g: ~x ¼
2
1
3
!
þ s
2
1
2
!
:
Durch Einsetzung hiervon in die Ebenengleichung
errechnen wir den Schnittpunkt
M 0 von g und E.
c Das Resultat ist M 0 ð 2 3j 1 3j 13
3 Þ.
c
k'
M
M'
d
Der Radius r' des Schnittkreises k':
p
r 0 ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
r 2 d 2 ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
3 2 2 2 ¼
ffiffi
5
r
Der Mittelpunkt M' des Schnittkreises k':
" ! ! !# !
2
2
1 þ s 1 ¼ 0
3
2
|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
Gerade g
9sþ 6 ¼ 0, s ¼ 2 3
M 0 ð 2 3j 1 3j 13 3 Þ
Übung 3
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebene E und der Kugel K. Bestimmen Sie ggf. Radius
und Mittelpunkt des Schnittkreises.
" !#
a) E: ~x
1
0
2
2
1
2
! " !# 2
3
¼ 0, K: ~x ¼ 25
b) E: 2x þ 3yþ 6z¼ 21, K: ðx þ 1Þ 2 þðy 2Þ 2 þðz 4Þ 2 ¼ 100
2
1
Beispiel: Spurkreise einer Kugel
Die Kugel K um den Mittelpunkt Mð 2j4j3Þ mit dem Radius r ¼ 4 schneidet die y-z-Ebene.
Bestimmen Sie den Mittelpunkt M 0 und den Radius r 0 des Schnittkreises k 0 von Kugel und
y-z-Ebene, den man als Spurkreis der Kugel in der y-z-Ebene bezeichnet.
Lösung:
Der Spurkreismittelpunkt M 0 ist der Fußpunkt
des Lotes vom Kugelmittelpunkt
Mð 2j4j3Þ auf die y-z-Ebene, d.h. der
Punkt M 0 ð0j4j3Þ.
Der Abstand d des Kugelmittelpunktes
von der y-z-Ebene ist der Abstand von M
und M 0 , also d ¼ 2.
Der pRadius r 0 des Spurkreises ist daher
r 0 ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
r 2 d 2 ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
4 2 2 2 ¼
ffiffiffiffiffi
12 .
x
c
z
r
r' M'
r'
K
0
7
0
k'
M
d
E
2
1
2
K
y