Download (PDF: 6.1 MB)

470
XVII. Kugeln
B. Die gegenseitige Lage von Kugel und Ebene
Eine Kugel K und eine Ebene E können prinzipiell drei verschiedene Lagen zueinander einnehmen.
Dazu betrachtet man den Abstand d des Kugelmittelpunktes M von der Ebene E, den
man mit der Abstandsformel (Hesse’sche Normalenform der Ebene) errechnet und mit dem
Kugelradius r vergleicht.
r
M
d
E
F
r
M
d
E
F
r
M
d
F
E
Ist d > r, so schneiden sich Ebene
E und Kugel K nicht.
Der Lotfußpunkt F des Lotes von
M auf E ist dann derjenige Ebenenpunkt,
der den kleinsten Abstand
zur Kugel K hat.
Ist d ¼ r, so berührt die Ebene E
die Kugel K im Fußpunkt F des
Lotes von M auf E.
E ist eine Tangentialebene von K.
Ist d < r, so schneidet die Ebene E
die Kugel K in einem Kreis k 0 ,
den man als Schnittkreis von Kugel
und Ebene bezeichnet.
Übung 2
Prüfen Sie, ob die Ebene E die Kugel K schneidet, berührt oder verfehlt.
" !#
!
a) E: ~x ¼ 0 b) E: 2x 4yþ 4z¼ 38
4
2
5
1
2
2
K: x 2 þ y 2 þ z 2 ¼ 25 K: ðx 3Þ 2 þðy 3Þ 2 þðz 2Þ 2 ¼ 36
C. Der Schnittkreis von Kugel und Ebene
c
...................................................................
.
Beispiel: Berechnung des Schnittkreises
ZeigenSie,dassdieEbeneE: 2x y 2z¼ 7dieKugelK: ðx 2Þ 2 þðy þ1Þ 2 þðz 3Þ 2 ¼ 9
schneidet. Bestimmen Sie den Radius r 0 und den Mittelpunkt M 0 des Schnittkreises k 0 .
Lösung:
Wir stellen zunächst eine Hesse’sche Normalengleichung
von E auf. Hierzu entnehmen
wir der Koordinatengleichung einen
Ebenenpunkt, z. B. Að0j7j0Þ, sowie einen
Normalenvektor.
Den Abstand des Kugelmittelpunktes
Mð2j 1j3Þ zur Ebene E ermitteln wir
durch Einsetzen in die linke Seite der Hesse’schen
Normalengleichung. Wir erhalten
d ¼ 2. Da dieser Wert kleiner als der
Kugelradius r ¼ 3 ist, schneidet die Ebene
E die Kugel K.
Hessesche Normalengleichung von E:
" !#
!
E: ~x ¼ 0
0
7
0
2=3
1=3
2=3
Abstand des Mittelpunktes M von E:
" ! !#
!
2 0 2=3
d ¼
1 7 1=3
3 0 2=3 ¼ 2 < 3
) Die Ebene E schneidet die Kugel K.