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2. Kugeln, Geraden und Ebenen 469
2. Kugeln, Geraden und Ebenen
A. Die gegenseitige Lage von
Kugel und Gerade
Eine Gerade g im Raum kann Passante,
Tangente oder Sekante einer gegebenen
Kugel sein.
Man überprüft dies durch Einsetzen der
Geradenkoordinaten in die Kugelgleichung.
Sekante
K
Tangente
Passante
c
..............................................................................................................
c
Beispiel: Passante/Tangente/Sekante
p
Gegeben sind die Kugel K um den Mittelpunkt Mð5j1j0Þ mit Radius r ¼
ffiffiffiffiffi
14 sowie die
Geraden g 1
!
,g 2 und g 3 .
!
Welche gegenseitige
!
Lage besitzen
!
die Geraden
!
und die Kugel?
!
g 1 : ~x ¼ 6 1
4
2
2
1
1 þ s 1 g 2 : ~x ¼ 4 þ s 4 g 3 : ~x ¼ 2 þ s 1
7
2
3
1
1
1
Lösung:
Wir stellen zunächst die Koordinatengleichung
der Kugel auf.
In diese setzen wir die allgemeinen Koordinaten
x ¼ 6 þ s, y ¼ 1 s und z ¼ 7 þ 2s
der Geraden g 1 ein. Wir erhalten eine quadratische
Gleichung für den Geradenparameter
s, die die beiden Lösungen s 1 ¼ 3
und s 2 ¼ 2 hat. Die Gerade g 1 ist also Kugelsekante.
Analog verfahren wir mit der Geraden g 2 .
Sie hat nur einen gemeinsamen Punkt
Bð2j0j2Þ mit der Kugel. Die Gerade g 2
ist Kugeltangente.
Die Gerade g 3 hat gar keine gemeinsamen
Punkte mit der Kugel. Es ist eine Kugelpassante.
Kugelgleichung:
K: ðx 5Þ 2 þðy 1Þ 2 þ z 2 ¼ 14
Lage von g 1 und K:
ð6þs 5Þ 2 þð1 s 1Þ 2 þð7þ2sÞ 2 ¼ 14
6s 2 þ 30s þ 50 ¼ 14
s 1 ¼ 3 und s 2 ¼ 2 ) Sekante
S 1 ð3j4j1Þ,S 2 ð4j3j3Þ
Lage von g 2 und K:
21s 2 þ 42s þ 35 ¼ 14
s ¼ 1 ) Tangente
Bð2j0j2Þ
Lage von g 3 und K:
3s 2 10s þ 51 ¼ 14
unlösbar
) Passante
Übung 1
p
Gegeben sind die Kugel K mit dem Mittelpunkt Mð 2j1j3Þ und dem Radius r ¼ ffiffi
6 sowie die
Gerade g durch die Punkte A und B. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g und K.
a) Að 3j 7j8Þ b) Að 1j4j4Þ c) Að2j2j2Þ
Bð 2j 4j6Þ Bð1j5j4Þ Bð 3j2j7Þ