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468<br />

XVII. Kugeln<br />

Übungen<br />

5. Wie lautet die Gleichung der Kugel K um den Mittelpunkt p M mit dem Radius r?<br />

a) Mð2j 1j2Þ,r¼ 4 c) Mð0j1j1Þ,r¼ ffiffi<br />

5 e) Mð0j0j0Þ,r¼ 4<br />

b) Mð1j4j0Þ,r¼ 3 d) Mð2j1j 1Þ,r¼ 1 f) Mð1j1j1Þ,r¼ 2<br />

Vektorgleichung<br />

Koordinatengleichung<br />

beide Gleichungsarten<br />

6. Prüfen Sie, ob die Punkte A und B auf, innerhalb oder außerhalb der Kugel K liegen.<br />

" !# 2 " !# 2<br />

0<br />

6<br />

a) K: ~x ¼169, Að5j12j0Þ,Bð10j8j2Þ b) K: ~x ¼25, Að2j2j 2Þ,Bð3j 3j2Þ<br />

0<br />

0<br />

c) K: ðx 3Þ 2 þðy þ 1Þ 2 þðz 1Þ 2 ¼ 49, d) K: x 2 þ y 2 þðz þ 3Þ 2 ¼ 121,<br />

Að6j1j 5Þ,Bð4j5j 2Þ Að0j0j8Þ,Bð2j6j6Þ p<br />

e) K: Mð2j0j3Þ,r¼9, Að6j4j10Þ,Bð5j7j8Þ f) K: Mð0j0j 2Þ,r¼ ffiffiffiffiffi<br />

17 ,Að4j 1j 3Þ,Bð2j3j0Þ<br />

7. Die gegebene quadratische Gleichung stellt eine Kugel K dar. Bestimmen Sie Mittelpunkt<br />

und Radius dieser Kugel.<br />

a) K: x 2 þ y 2 2yþ z 2 þ 2z¼ 2 b) K: x 2 þ y 2 þ z 2 8xþ 4yþ 10z ¼ 4<br />

c) K: x 2 þ y 2 þ z 2 2 ¼ 4x 2yþ 8 d) K: ðx 1Þ 2 þ y 2 ¼ 2yþ 2z z 2 1<br />

e) K: x 2 þ y 2 þ z 2 ¼ 8x 4z f) K: x 2 2axþz 2 ¼ y 2 2azþ7a 2 ða>0Þ<br />

8. Gesucht ist die Gleichung einer Kugel K mit folgender Eigenschaft:<br />

a) K hat den Mittelpunkt Mð 1j2j 4Þ und geht durch den Punkt Að3j6j3Þ.<br />

b) K ist eine Ursprungskugel, welche die Ebene E: z=5 berührt.<br />

c) K ist eine Ursprungskugel, welche den Punkt Að6j17j6Þ enthält.<br />

9. Eine Gerade g durch den Mittelpunkt der Kugel K schneidet die Kugel in den Punkten A und<br />

B. Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius der Kugel K.<br />

a) Að3j7j10Þ b) Að4j3j9Þ c) Að4j13 j12Þ<br />

Bð 1j 5j 8Þ Bð 4j 5j 5Þ Bð 6j 7j 8Þ<br />

10. Der Punkt A liegt auf der Kugel K. Welcher Punkt B der Kugel K liegt exakt gegenüber von<br />

Punkt A?<br />

a) K: ðx 6Þ 2 þðy þ 2Þ 2 þ z 2 ¼ 121, Að8j4j9Þ b) K: x 2 þðy 4Þ 2 þ z 2 ¼ 361, Að6j21j6Þ<br />

11. Die Kugeln K 1 und K 2 schneiden sich nicht. Welche beiden Punkte von K 1 bzw. K 2 haben<br />

den geringsten Abstand voneinander?<br />

a) K 1 :x 2 þ y 2 þ z 2 ¼ 81 b) K 1 : ðx 1Þ 2 þðy 1Þ 2 þðz 1Þ 2 ¼49<br />

K 2 : ðx 6Þ 2 þðy 12Þ 2 þðz 12Þ 2 ¼ 36 K 2 : ðx 9Þ 2 þðy 13Þ 2 þðz 25Þ 2 ¼196<br />

12. Die Kugel K um den Mittelpunkt M soll die Ebene E in einem Punkt B berühren. Welchen<br />

Radius r besitzt die Kugel? Wie heißt der Berührpunkt B?<br />

a) E: 4x 4yþ 7z¼ 81, Mð0j0j0Þ b) E: 2x þ 3yþ 6z¼ 42, Mð2j 4j 8Þ<br />

13. Bestimmen Sie eine Gleichung der Kugel K durch den Punkt Pð12j4j16Þ, welche die x-y-<br />

Ebene im Ursprung berührt.<br />

5<br />

2

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