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1. Kugelgleichungen 467
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Beispiel: Punktprobe
Prüfen Sie, ob die Punkte Að6j1j2Þ, Bð4j3j4Þ und Cð6j5j3Þ auf der Kugel K um den
Mittelpunkt Mð2j1j5Þ mit dem Radius r=5 liegen.
Lösung:
Wir stellen zunächst die Koordinatengleichung
der Kugel K auf.
Anschließend setzen wir die Koordinaten
der gegebenen Punkte in die linke Seite der
Kugelgleichung ein. Nur der Punkt A erfüllt
die Kugelgleichung. Er liegt auf der
Kugeloberfläche. Der Punkt B liegt in der
Kugel, da sein Abstand zum Mittelpunkt
3 < 5 beträgt. Der Punkt C liegt außerhalb
der Kugel, denn sein Abstand zum Mittelpunkt
ist 6 > 5.
Kugelgleichung:
ðx 2Þ 2 þðy 1Þ 2 þðz 5Þ 2 ¼ 25
Punktproben:
A:ð6 2Þ 2 þð1 1Þ 2 þð2 5Þ 2 ¼ 25
B: ð4 2Þ 2 þð3 1Þ 2 þð4 5Þ 2 ¼ 9 < 25
C: ð6 2Þ 2 þð5 1Þ 2 þð3 5Þ 2 ¼ 36 > 25
A liegt auf K.
B liegt innerhalb von K.
C liegt außerhalb von K.
Übung 2
Prüfen Sie, ob A und B auf der Kugel K mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r liegen.
a) Mð2j 1j4Þ,r¼ 3 b) Mð1j1j5Þ,r¼ 5 c) Mð 2j4j3Þ,r¼ 6
Að4j1j5Þ Að5j 2j5Þ Að0j0j0Þ
Bð3j2j1Þ Bð 1j3j3Þ Bð4j1j5Þ
Übung 3
a) Für welche Werte des Parameters t liegt der Punkt Pðtj 2j12Þ auf der Kugel mit dem Mittelpunkt
Mð1j3j2Þ und dem Radius r ¼ 15?
b) Wie lautet die Gleichung der Kugel K um den Mittelpunkt Mð2j1j5Þ, die den Punkt
Að 6j5j4Þ enthält?
Beispiel: Radius und Mittelpunkt
Eine Gleichung der Form x 2 þ axþ y 2 þ byþ z 2 þ cz ¼ d kann eine Kugel K darstellen.
Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius der Kugel K: x 2 2xþ y 2 4yþ z 2 þ 8z¼ 15.
Lösung:
Die Kugelgleichung enthält drei quadratische
Terme für x, y und z. Wir formen jeden
dieser Terme mittels quadratischer Ergänzung
in ein Binom um. Die rechte Seite der
Gleichung ergänzen wir durch Addition entsprechend.
Wir erhalten eine Gleichung der
Form ðx aÞ 2 þðy bÞ 2 þðz cÞ 2 ¼ r 2 ,
aus der wir Mittelpunkt M und Radius r unmittelbar
ablesen können.
K: x 2 2xþy 2 4yþz 2 þ8z ¼ 15
K: x 2 2xþ1þy 2 4yþ4þz 2 þ8zþ16
¼ 15þ21
K: ðx 1Þ 2 þðy 2Þ 2 þðzþ4Þ 2 ¼ 36
K: ðx 1Þ 2 þðy 2Þ 2 þðzþ4Þ 2 ¼ 6 2
Mittelpunkt: Mð1j2j
Radius: r ¼ 6
Übung 4
Bestimmen Sie Mittelpunkt M und Radius r der Kugel K.
a) K: x 2 þ 4xþ y 2 6yþ z 2 þ 10z ¼ 62 b) K: x 2 þ y 2 þ z 2 2xþ 4y¼ 11
4Þ