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XVII. Kugeln
x
1. Kugelgleichungen
Kugeln im Raum können analog zu Kreisen in der Ebene sowohl
durch eine Vektorgleichung als auch durch eine Koordinatengleichung
dargestellt werden.
z
x$
m$
X
M
y
Jeder Punkt X der Kugel hat den gleichen
Abstand r vom Kugelmittelpunkt
ƒ!
M. Daher hat der Vektor MX ¼~x ~m
stets den Betrag r.
Die Gleichung j~x ~mj¼r bzw. die
äquivalente Gleichung ð~x ~mÞ 2 ¼ r 2
wird also genau von den Punkten erfüllt,
die auf der Kugel liegen.
Kugelgleichungen
K sei eine Kugel um den Mittelpunkt Mðm 1 jm 2 jm 3 Þ mit
dem Radius r.
Ein Punkt X liegt genau dann auf der Kugel K, wenn eine
der folgenden Gleichungen erfüllt ist:
Vektorgleichung der Kugel
K: j~x ~mj¼r oder K: ð~x ~mÞ 2 ¼ r 2
Koordinatengleichung der Kugel
K: ðx m 1 Þ 2 þðy m 2 Þ 2 þðz m 3 Þ 2 ¼ r 2 466-1
Berliner Fernsehturm – Eröffnung: 3. Oktober 1969 – Höhe: 368 m – Kugel in 200-232 m Höhe – Kugeldurchmesser: 32 m
c
..............................................
c
Beispiel: Kugelgleichung
Wie lautet die Gleichung der Kugel K mit dem Mittelpunkt
Mð2j3j1Þ und dem Radius r ¼ 3?
Lösung:
Durch Einsetzen des Ortsvektors bzw. der
Koordinaten von M und des Radius in die
obigen Gleichungen erhalten wir die
rechts dargestellte Vektorgleichung und
die Koordinatengleichung der Kugel. Die
Koordinatengleichung lässt sich durch
Klammerauflösung noch vereinfachen.
K: ~x
2
3
1
!
" !# 2 ¼ 3; K: ~x 2
3 ¼ 9
K: ðx 2Þ 2 þðy 3Þ 2 þðz 1Þ 2 ¼ 3 2
K: x 2 4xþ y 2 6yþ z 2 2z¼ 5
Übung 1
Gesucht sind Gleichungen der Kugel K mit dem Mittelpunkt p M und dem Radius r.
a) Mð4j2j 1Þ,r¼ 5 b) Mð2j1j4Þ,r¼ ffiffi
3 c) Mð0j 4j0Þ,r¼ 16
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