Download (PDF: 6.1 MB)

XIV. 5. DasSkalarprodukt Vektorprodukt und Vektorprodukt
397
Überblick
Skalarprodukt: Kosinusformel: ~a ~b ¼j~ajj~bjcos g ð0 g 180 Þ
Koordinatenform: ~a ~b ¼ a
1 b 1
¼ a
a 2 b 1 b 1 þ a 2 b 2
2
0 1 0 1
a 1 b 1
~a ~b ¼ @ a 2
A @ b 2
A ¼ a1 b 1 þ a 2 b 2 þ a 3 b 3
a 3 b 3
Rechenregeln für das
Skalarprodukt:
Der Betrag eines Vektors:
~a ~b ¼~b ~a Kommutativgesetz
ðr~aÞ~b ¼ rð~a ~bÞ für r 2 R
ð~a þ~bÞ~c ¼~a ~c þ~b ~c Distributivgesetz
~a 2 ¼~a ~a > 0 für~a 6¼~0
~a 2 ¼~a ~a ¼ 0 für~a ¼~0
Für den Betrag (die Länge) eines Vektors~a gilt die Formel
j~aj 2 p
¼~a ~a bzw: j~aj¼ ~a ffiffiffiffiffiffiffi
~a :
Orthogonale Vektoren: ~a ?~b , ~a ~b ¼ 0
Vektorprodukt:
0
a 2 b 3
1
a 3 b 2
~a ~b ¼ @ a 3 b 1 a 1 b 3
A
a 1 b 2 a 2 b 1
Rechengesetze für das
Vektorprodukt:
(1) ~a ~b ¼ ð~b ~aÞ Anti-Kommutativgesetz
(2) ðr ~aÞ~b ¼ r ð~a ~bÞ für r 2 R Assoziativgesetz
(3) ~a ð~b þ~cÞ¼ð~a ~bÞþð~a ~cÞ Distributivgesetz
Flächeninhalt eines
Parallelogramms:
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
A ¼ ~a 2 ~b 2 ð~a ~bÞ 2
oder
A ¼j~a ~bj¼j~ajj~bjsin g
Volumen eines Spats:
V ¼jð~a ~bÞ~cj
Volumen einer
dreiseitigen Pyramide:
V ¼ 1 6 jð~a ~bÞ~cj