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XIV. Skalarprodukt und Vektorprodukt
D. Zusammengesetzte Aufgaben
1. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte Að5; 1Þ, Bð2; 4Þ und Cð 1; 1Þ
gegeben.
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC rechtwinklig und gleichschenklig ist.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
c) Bestimmen Sie den Ortsvektor eines Punktes D so, dass ABCD ein Quadrat ist.
d) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes des Quadrats ABCD.
2. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte Að2; 2; 3Þ, Bð 2; 0; 3Þ und
Cð 4; 2; 6Þ gegeben.
ƒ! ƒ!
a) Zeigen Sie, dass die Vektoren AB und AC nicht kollinear sind.
b) Bestimmen Sie den Ortsvektor eines Punktes D so, dass ABCD ein Parallelogramm ist.
c) Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks ABC.
3. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte Að1; 1; 1Þ, Bð4; 5; 9Þ und
C t ð1; t; 5Þ gegeben.
ƒ! ƒ!
a) Zeigen Sie, dass die Vektoren AB und ACt für kein reelles t kollinear sind. Für welchen
ƒ! ƒ!
Wert für t sind die Vektoren AC t und BCt kollinear?
ƒ! ƒ!
b) Für welchen Wert für t sind die Vektoren AB und ACt orthogonal?
c) Berechnen Sie für t ¼ 2 den Flächeninhalt des Dreiecks ABC 2 .
4. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte Að3; 0; 0Þ,Bð0; 3; 0Þ,Cð 3; 0; 0Þ,
Dð0; 3;0Þ,Eð0; 0; 3Þ und Fð0; 0; 3Þ gegeben. Sie bilden die Eckpunkte eines Oktaeders.
a) Zeigen Sie, dass ABCD ein Quadrat ist.
b) Zeichnen Sie ein Schrägbild des Oktaeders.
c) Berechnen Sie Volumen und Oberfläche des Oktaeders.
5. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 2; 2; 2), B t ( 2; 1; 3t) und
C t ð 2t 2; 5; 1Þ gegeben.
a) Zeigen Sie, dass die Ortsvektoren OA
ƒ! ƒ! ƒ!
,OB t,OCt
nur für t ¼ 1 paarweise orthogonal sind.
b) Die Punkte O, A, B t ,C t sind Eckpunkte einer Pyramide. Zeichnen Sie für t ¼ 1 ein Schrägbild
der Pyramide und berechnen Sie unter Verwendung von Aufgabenteil a das Volumen
dieser Pyramide.
c) Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks AB 1 C 1 (für t ¼ 1).
d) Zeigen Sie, dass die Seitenmittelpunkte des räumlichen Vierecks OAB t C t (in der angegebenen
Reihenfolge) ein Parallelogramm bilden.
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6. Die Vektoren~a ¼ 6 0 , ~b ¼ 2 4 ,~c ¼ 1 1 spannen einen Spat ABCDEFGH auf.
0
0
3
a) Zeichnen Sie ein Schrägbild des Spats.
b) M sei der Mittelpunkt der Strecke EH, L sei der Mittelpunkt der Strecke BC und K sei der
Mittelpunkt der Raumdiagonalen AG. Bestimmen Sie die Ortsvektoren von M, L und K.
c) In welchem Verhältnis teilt K die Strecke ML?