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180 VII. Integrationsmethoden 2. Die Substitutionsmethode Ein Hauptproblem der Integralrechnung ist das Auffinden von Stammfunktionen zu gegebenen Funktionen. Die Errechnung einer Stammfunktion kann im Einzelfall auch für einen Mathematiker zu einem schwierigen Unterfangen werden. Daher gibt es umfangreiche Integraltafeln, in denen zu einer großen Zahl von Funktionen die zugehörigen Stammfunktionen verzeichnet sind, die im Laufe der Zeiten in mühevoller Arbeit gefunden wurden. Einige dieser Integrale wurden mit der bereits behandelten Produktintegration (oder partiellen Integration) bestimmt. Eine weitere Integrationsmethode, die auf der Kettenregel der Differentialrechnung beruht, wird als Substitutionsmethode bezeichnet. Dieses Verfahren lässt sich besonders einfach durchführen, wenn man mit Differentialen arbeitet. Anschaulich sind Differentiale die KathetenlängeninSteigungsdreieckeneinerKurventangente. dxist derTangentenzuwachs in x-Richtung und dy der Tangentenzuwachs in y-Richtung. Der Quotient dy dieser Differentiale dx ist gleich der Steigung der Kurve im entsprechenden Kurvenpunkt P: dy dx ¼ y0 . y P Graph f dy dx Tangente x c ............................................................... . Typ 1: Substitution eines Teilterms des Integranden ð Beispiel: Gesucht ist das unbestimmte Integral ð4xþ 1Þ 3 dx. Lösung: Wir substituieren (ersetzen) einen Teilterm des Integranden durch eine neue Variable z. Hier ersetzen wir 4x þ 1 durch z. Anschließend versuchen wir, die restlichen Teile des Integrals ebenfalls in Abhängigkeit von z darzustellen. Dabei verwenden wir die Differentialquotientengleichung z 0 ¼ dz dx ¼ 4. Wir erhalten ein Integral, dessen Integrand nur noch von z abhängt. Entscheidend ist, dass es leichter zu bestimmen ist als das Ausgangsintegral. Die errechnete Stammfunktion ist wieder eine Funktion von z. (1) Substitution: 4xþ 1 ¼ z ð ð ð4xþ 1Þ 3 dx ¼ z 3 dx (2) Differentialquotient: z 0 ¼ dz dx ¼ 4 dx ¼ dz 4 (3) Einsetzen von (2) in (1): ð ð ð ð4xþ 1Þ 3 dx ¼ z 3 dz 4 ¼ ¼ 1 16 z4 þ C 1 4 z3 dz
1. 2. Die Produktintegration Substitutionsmethode 181 .......................................................................... ......... c c c Die Resubstitution z ¼ 4xþ 1 liefert nun eine Stammfunktion unseres Ausgangsintegranden, womit die Aufgabe gelöst ist. ð4Þ Resubstitution: z ¼ 4xþ 1 ð ð4xþ 1Þ 3 dx ¼ 1 16 ð4xþ 1Þ4 þ C Es kommt also darauf an, einen geeigneten Teilterm des Integranden so geschickt zu substituieren, dass das Ausgangsintegral in ein einfacheres Integral umgewandelt wird. Übung 1 Berechnen Sie das unbestimmte Integral mithilfe der Substitutionsmethode. a) ð ð2xþ 1Þ 3 dx b) ð cosð4xÞdx c) Typ 2: Substitution der Integrationsvariablen ð 4 dx d) ð5 3xÞ 2 ð 1 Beispiel: Gesucht ist das unbestimmte Integral) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx, 0 < x < 1. Lösung: Hier könnte man zunächst die Substitutionen z ¼ x 2 ,z¼ 1 x 2 oder z ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x 2 p versuchen. Keine führt zum Ziel. Wenn man allerdings die Integrationsvariable x selbst durch den Term sin z substituiert und das Differential dx dementsprechend, so hat man Erfolg. Dann vereinfacht sich das Ausgangsintegral nach Anwendung des trigonometrischen Pythagoras in verblüffender Weise. Abschließend müssen wir mithilfe der Umkehrfunktion des Sinus die Substitution rückgängig machen. Wir erhalten als Resultat die nebenstehende wichtige Integrationsformel. 1 x 2 ð sin 5 x cos x dx (1) Substitution: x ¼ sin z, 0 < z < p 2 (2) Differentiale: x 0 ¼ dx dz ¼ cos z dx ¼ cos z dz (3) Einsetzen von (1) und (2): ð ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 dx ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos z dz ¼ ¼ 1 x ð 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 cos 2 z ð dz ¼ z þ C 1 sin 2 z ð cos z dz ¼ 1 cos z (4) Resubstitution : z ¼ arcsin x ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 dx ¼ arcsin x þ C 1 x 2 cos z dz Übung 2 Berechnen Sie das unbestimmte Integral. Wenden Sie die Variante der Substitutionsmethode an, bei der die Integrationsvariable x selbst durch einen geeigneten Term substituiert wird. ð x aÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ð0 < x < 1Þ Substituieren Sie x so durch einen trigonometrischen Term, dass die 1 x 4 Wurzel wegf€allt: ð x bÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ð0 < x < 1Þ Substituieren Sie x so durch einen quadratischen Term, dass die Wurzel 1 x wegf€allt: * Die Umkehrfunktion der Sinusfunktion ist die Arkussinusfunktion (arcsin). Auf einigen Taschenrechnern gibt es dafür die Taste sin 1 .
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