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5. Das Vektorprodukt 395
Übungen
11. Berechnen Sie für die Vektoren~a und ~b das Vektorprodukt ~a ~b.
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a) ~a ¼ , ~b ¼ b) ~a ¼ , ~b ¼ c) ~a ¼
0
3
5
2
1
1
3
1
2
2
2
4
!
4
1 , ~b ¼
2
!
2
1
2
12. Gegeben sind die Vektoren~a ¼
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6
1 , ~b ¼
1
! !
3
2
1
,~c ¼ 0 4
1
.
a) Bilden Sie~a ~b, ~b ~a,~c ~a, ð~a ~bÞ~c, ð~a ~bÞ~c.
b) Weisen Sie für die gegebenen Vektoren nach, dass~a ~b senkrecht zu~a und zu ~b ist.
c) Beschreiben Sie die Gemeinsamkeiten und die Unterschiede der Vektoren ~a ~b und
~b ~a geometrisch-anschaulich.
13. Beweisen Sie:
Für die Vektoren~a und ~b des Raums gilt: ðr ~aÞðs ~bÞ¼r s ð~a ~bÞ,r,s2 R.
14. Beweisen Sie:
Für alle Vektoren~a, ~b und~c des Raums gilt: ð~a ~bÞ~c ¼ð~b ~cÞ~a ¼ð~c ~aÞ~b.
15. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
a) Að3; 0; 2Þ,Bð1; 4; 1Þ,Cð1; 3; 2Þ b) Að4; 1; 0Þ,Bð2; 4; 3Þ,Cð1; 1; 5Þ
16. Gegeben sind die Punkte Að 1; 3; 6Þ,Bð5; 1; 8Þ,Cð3; 5; 2Þ und Dð 3; 3; 4Þ.
a) Zeigen Sie, dass ABCD ein Parallelogramm bilden.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD.
17. Berechnen Sie das Volumen des Spats ABCDEFGH mit Að4; 1; 1Þ, Bð4; 8; 1Þ,
Cð1; 8; 1Þ und Eð3; 2; 3Þ. Fertigen Sie ein Schrägbild des Spats an.
18. Berechnen Sie das Volumen einer dreiseitigen Pryramide mit den Eckpunkten
a) Að5; 0; 0Þ,Bð0; 4; 0Þ,Cð0; 0; 0Þ,Dð2; 2; 6Þ
b) Að4; 0; 1Þ,Bð1; 4; 1Þ,Cð 1; 1; 0Þ,Dð1; 1; 5Þ
19. Berechnen Sie mithilfe des Spatprodukts das Volumen einer Pyramide mit viereckiger
Grundfläche ABCD und der Spitze S. Die Eckpunkte lauten: Að4; 3; 1Þ, Bð1; 7; 1Þ,
Cð 3; 2; 0Þ,Dð0; 0; 0Þ,Sð0; 3; 4Þ. Fertigen Sie ein Schrägbild der Pyramide an.
20. a) Zeigen Sie:~a, ~b,~c sind linear unabhängig, wenn ð~a ~bÞ~c 6¼ 0 ist.
b) Zeigen Sie: Wenn~a, ~b,~c linear unabhängig sind, dann gilt: ð~a ~bÞ~c 6¼ 0.
c) Weisen Sie mithilfe des Spatprodukts die lineare Unabhängigkeit der Vektoren
~a ¼ 1 2
4
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, ~b ¼
2
3
1
!
,~c ¼
2
0
3
!
nach.